Kaç sayı var?

Cem Say Y
Kaç sayı var?

Bu da soru mu? Sonsuz tane tabii! Ama iş o kadarla kalmıyor. Bu yazıda sonsuz kümelerin tuhaf dünyasına bakacağız.

Nüfuslar

Malum, aynı elemanın birden fazla kopyasının olmasına izin vermediğimiz her topluluğa “küme” diyoruz. Mesela telefon rehberinizde kayıtlı numaralar topluluğu bir kümedir. Bir numara ekler veya silerseniz farklı bir küme elde edersiniz.

Kümelerin “nüfusları”ndan söz edeceğiz. Yani kaç eleman içerdiklerinden. Bunun ilginç bir konu olmasının nedeni telefon rehberiniz gibi sonlu sayıda eleman içeren kümeler olabildiği gibi sonsuz kümelerin de olması. Örneğin 1, 2, 3, ... diye başlayıp sonsuza uzanan pozitif tamsayılar kümesi böyle bir küme.

İki sonlu kümenin nüfuslarını karşılaştırmak kolay: Sayarsınız, olur biter! Sonsuz bir kümenin nüfusunun herhangi bir sonlu kümeninkinden fazla olduğuna da kimsenin itirazı yok. Esas mesele iki sonsuz kümenin nüfuslarını karşılaştırmak isterseniz çıkıyor. Mesela, demin bahsettiğimiz pozitif tamsayılar kümesi acaba Türk alfabesinde küçük harfleri anlam kaygısı taşımadan yan yana getirerek oluşturabilecek (aaa, fjfjs, üğpoouuhrs filan gibi) harf dizilerinin tümünün kümesinden daha kalabalık mıdır, daha “tenha”mı? Yoksa nüfusları eşit midir?

Cantor

Kümeleri karşılaştırmanın Alman matematikçi Georg Cantor tarafından bulunmuş ve sonsuz kümeler için de işleyen harika bir yolu var: Kendinizi bir çöpçatan olarak düşünün. Kümelerden birinin elemanlarını erkekler, diğerininkileri de kadınlar olarak hayal edin. Amacınız tek bir bekar kalmayacak şekilde kümelerarası çiftler oluşturmak. Cantor’un tanımına göre, iki kümeyi bu şekilde tümüyle evlendirmek mümkünse onların nüfusları eşit. Çiftleri nasıl kurarsak kuralım, hep bazı erkek veya kadınlar açıkta kalıyorsa, o zaman nüfuslar eşit değil.

Sonlu kümeler için bu tanımın tam da alışageldiğimiz kavrama denk geldiğini görüyoruz: Eğer iki telefon rehberinde aynı sayıda kayıt varsa her kayıt karşı defterden bir kayıtla birebir eşlenebilir, kimse açıkta kalmaz.

Sonsuz kümeler için bu yöntemi uyguladığımızda ilginç şeyler oluyor. Pozitif tam sayılar kümesini hatırlıyorsunuz. Şimdi de “negatif olmayan tam sayılar” kümesinin ele alalım: 0, 1, 2, 3, ... dizisinin tümünü yani. Bu yeni küme öncekinden azıcık büyük görünüyor değil mi? Değil işte! Cantor bize bu kümeleri nasıl evlendirebileceğimizi şöyle anlatıyor:

"Her pozitif tam sayıyı kendisinden bir eksik olan sayıya eşleyin.

Yani 1’le 0, 2’yle 1, 3’le 2, ... eşlenecek. İki küme de tümüyle bekarlıktan kurtuldu mu? Evet. Kimsenin birden çok eşi filan yok, değil mi? Yok. Demek ki bu iki sonsuz kümenin nüfusları aynıymış!

(Bunun içgüdüsel olarak yanlış geldiğini biliyorum ama atalarımız evrimleşirken hayatta kalmak için sonsuz kümelerle ilgili problemler çözmeleri gerekmiyordu, o yüzden de bu konularla ilgili içgüdümüzün doğru çıkması beklenemez.)

Peki bütün tam sayılar? Yani tüm negatif tam sayılar -1, -2, -3, ..., hepsi de öncekilere katılınca elde ettiğimiz o müthiş küme? “Artık bu küme salt pozitif tam sayıları içerenden daha kalabalıktır” demeyin. Bu sefer sıralama değişik ama Cantor bu iki kümeyi de evlendirebiliyor. İşin sırrı tam sayıları alışıldık sırayla değil, şöyle dizmekte:

0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5, 5, ...

Bu dizilimi uzatırsam her tamsayının önünde sonunda görüneceği açık, değil mi? Eh, şimdi artık pozitif tamsayıları bu sıradaki tamsayılarla eşleyebilirsiniz.

Daha da kalabalık

Bu örnekler insanda “herhalde tek bir sonsuzluk cinsi var; her sonsuz kümenin nüfusu tamsayılarınkine eşit” düşüncesi yaratabilir. Cantor bu tahminin de yanlış olduğunu gösterdi.

Sıfırla bir arasında kaç sayı vardır? Bu kez küsurlu sayılardan söz ediyoruz. Yazmaya 0’la başlayıp, sonra bir virgül koyup, virgülden sonra da sonsuz sayıda rakamı dizerek gösterebileceğimiz sayılar. (Bunlara Türkçe'de kimilerince “reel”, kimilerince de “gerçek” sayılar adı veriliyor. “Gerçel” diyenler de var.)

Cantor 0’la 1 arasındaki bu sayılardan oluşan kümenin nüfusunun tamsayılarınkinden büyük olduğunu kanıtladı. Yani bu sayılardan o kadar çok var ki, sonsuz satırlı bir listeye bile “şu birinci, şu ikinci, şu üçüncü, ...” diye sığdırılamıyorlar; nasıl sıralarsanız sıralayın, sonsuz sayıda sayı açıkta kalıyor!

Dahası da var ama, sonumuz akıl hastanesinde ölen Cantor’unkine benzemesin diye bugünlük burada kessek daha hayırlı olacak.

Sonsuz mutluluklar dilerim.

Cem Say / sayster@gmail.com


Cem Say

1987'den beri Boğaziçi Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü'nde çalışıyor. Çalışmaları Yapay Zeka ve Kuramsal Bilgisayar Bilimi üzerine. Sahte dijital deliller üzerine incelemeleri var. Bilimkurgu, uzay yolculuğu, seçim hileleri ve başka bir çok konuya da meraklı.