“Kayıp Balık Nemo” adlı Pixar filminin dışında, palyaço balıkları belki de en çok turuncu gövdeleri üzerindeki parlak beyaz çizgileriyle bilinirler. Üstelik, bu beyaz çizgilerle ilgilenenler görünürde yalnızca bizler değiliz. Yeni bir araştırmada, palyaço balıklarının kendileriyle aynı sayıda beyaz çizgileri olan başka palyaço balıklarını gördüklerinde basit bir sayma işlemiyle türdeşlerini tanıyabildiklerine tanık olundu.

Londra University College bilişsel sinirbilim uzmanlarından Brian Butterworth, bugüne dek hayvanlar aleminde sayma becerilerinin daha büyük öğünler kapmaya ya da büyük topluluklar içinde güvenli bir yer edinmeye yardımcı olduğunun bilindiğine, ancak palyaço balıklarının sayıların kimlik belirleme gibi başka bir “değerinin” farkına varmış olabileceklerine dikkat çekiyor.

Journal of Experimental Psychology dergisinde yayımlanan bu yeni araştırma palyaço balıklarının başka balıklardaki üçe dek çizgileri sayabildiklerine ve bunu yaparak yuvalarını ve toplumsal düzenlerini en çok tehlikeye düşürebilecek balıkları belirleyebildiklerine işaret ediyor.

En saldırgan canlı türlerinden

Sevimli görünümlerine karşın, palyaço balıkları saldırganlıklarıyla kötü bir üne sahip. Bu balıklar üzerlerinde barındıkları dokunaçlı denizşakayıklarının ya da anemonların kendi türlerinin bir üyesi tarafından ele geçirildiğini fark ettiklerinde bu davetsiz konuklara saldırırlar ve onları ısırıp, kovalarlar.

Illinois Urbana-Champaign Üniversitesi deniz canlıları sinirbilimcilerinden Justin Rhodes, bu saldırıların başka balıklarla sınırlı olmadığını dile getirerek, “Palyaço balıkları tam anlamıyla gezegenimiz üzerindeki en saldırgan canlılar arasında yer alırlar. Gelgelelim, topluluğun ast-üst sistemini tehlikeye düşüren yeni gelen kendi türlerinden bireylerdir. Bu balıklar dışarıdan kimsenin gelip yerlerini kapmasını istemezler” diyor.

Palyaço balıklarının 28 farklı türü olduğuna göre, yaşadıkları yeri olağanüstü bir biçimde koruyan bu canlılar kimlerin dost, kimlerin düşman olduğunu nasıl ayırt ederler?

Gövdelerindeki çizgiler…

Okinawa Bilim ve Teknoloji Enstitüsü deniz ekolojisi uzmanlarından Kina Hayashi, uzun süredir bunun palyaço balıklarının gövdelerindeki çizgilerle bir bağlantısı olup olmadığını merak ediyordu. Palyaço balıklarının üzerlerindeki çizgilerin sayısı türlerine göre sıfır ile üç arasında değişir ve çizgiler ya göbekten omurgaya, ya da burundan kuyruğa doğru uzanırlar. Daha önceki araştırmalar balıkların bu çizgilere yoğun bir ilgi duyduklarına işaret ediyordu. 2022 tarihli bir araştırmada, Hayashi palyaço balıklarının kendileriyle aynı sayıda çizgiye sahip olan ve aynı yönde yol alan yapay balıklarla çok daha uzun süre ilgilendiklerine ve onları ısırdıklarına tanık oldu.

Bunun üzerine balıkların gerçekte bu çizgileri sayıp sayamadıklarını merak eden Hayashi ve arkadaşları bir havuza laboratuvarda yetiştirdikleri-gövdeleri turuncu olup üzerlerinde 3 çizgi bulunan- daha önce başka palyaço balıklarıyla hiç karşılaşmamış Amphirion ocellaris türü 50 genç sıradan palyaço balığını farklı akvaryumlara yerleştirdiler. Ardından havuza bir başka sıradan palyaço balığı türüyle laboratuvarda yetiştirilmiş üç farklı türü teker teker havuza eklediler. Balıkların tümü koku geçirmeyen saydam bir kutuda korumaya alınmışlardı.

Türler arası davetsiz konukların gövdeleri turuncu ve siyahın farklı tonlarındaydı ve üzerlerinde sayıları bir ile üç arasında değişen çizgiler vardı. Ancak aralarından bir tanesinin üzerinde kokarca benzeri tek bir çizgi vardı. “Yerli” balıklar davetsiz konukların peşine takılıp onları ısıramıyorlardı, ama onları yine de sıkıştırıp alt edebiliyorlardı. Nitekim, yeni gelenler aynı sayıda çizgiye sahip olduklarında tam da böyle bir durum yaşandı.

Hayashi ve arkadaşları daha sonra 150 başka sıradan palyaço balığını gruplara ayırarak 3 farklı akvaryuma yerleştirdiler. Bir haftalık tanışma süresinin ardından, palyaço balığı toplulukları-turuncu tek renkli ya da üzerleri siyah bordürlü tek, iki, ya da üç dikey beyaz çizgiyle boyanmış- dördüncü bir “yem” balıkla tanıştırıldılar. Araştırmacılar bir olta yardımıyla her bir yapay balığı sarkıttılar.

Hayashi, çizgilerin varlığının açıkça bir fark yarattığına, palyaço balıklarının çizgisiz olanlara kıyasla 10 kat daha sıklıkla üç çizgili yemlerin peşine saldırgan bir biçimde takıldıklarına ve çizgi sayısının bu davranışlarında son derece etkili olduğuna dikkat çekiyor.

Elde edilen bulgular palyaço balıklarının yalnızca sayı saymakla kalmayıp, aynı zamanda bu becerilerinden yuvalarını kendi türlerinden başka bireylerden korumak amacıyla da yararlandıklarını ortaya koyuyor.

Rhodes, bu çalışmanın palyaço balıklarının kendi türlerini nasıl ayırt ettikleri konusuna ciddi bir açıklık getirdiğini belirtse de, balıkların bunu gerçekte sayarak mı yoksa davetsiz konukların üzerinde daha yoğun bir beyazlık olduğunu fark ederek mi yaptıkları konusunun yine de sorgulanması gerektiğini düşünüyor.

Ancak Hayashi daha önceki çalışmalarda palyaço balıklarının yalnızca beyaza hiç tepki vermediklerini, bu yüzden salt beyazlıktaki yoğunluğu fark etmelerinin söz konusu olamayacağını belirtiyor.

Butterworth de palyaço balıklarının hesaplama yeteneğinin, söz gelimi, çizgiler yerine karelerle yapılacak başka deneylerle çok daha ayrıntılı bir biçimde saptanabileceğine dikkat çekiyor.

Hayashi, palyaço balıklarının gerçekten sayabildiklerini kanıtlayabilirse, bir sonraki aşamada bu yeteneğin doğuştan mı geldiğini yoksa sonradan mı edinildiğini araştırmayı tasarlıyor.

Rita Urgan

Kaynak: https://www.science.org/content/article/counting-nemo-clownfish-may-be-capable-simple-math

Palyaço balıkları da basit matematik becerisine sahip yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

Hayatı matematikle geçti, fakat birdenbire hiçbir rakamı okuyamaz oldu, yalnızca harfleri okuyordu. Sinirbilimciler, vakayı inceleyip bilincin köklerine indi ve bilgi ile bilinç arasındaki ilişkiyle ilgili çok önemli ipuçlarına erişti.

Kısaca RFS olarak bilinen erkek bir hastanın, rakamları anlamsız, karmakarışık figürler olarak görmesine karşın harfleri okuyabilmesi sinirbilimcileri harekete geçirdi. Bu gizemli sorunun nedenlerini araştıran araştırmacılar, bulgu ve yorumlarını Proceedings of the National Academy of Sciences’da yayımladılar. Bilinçli farkındalığın beyinde nasıl oluştuğunu bu vaka yardımıyla çözmeye çalışan Allen Enstitüsü’nden sinirbilimci Christof Koch, “Bu vaka, biliş (bilgi) ile bilincin arasındaki bağlantının kopması sonucu ortaya nasıl bir tablo çıktığını gösteren çok iyi bir örnek oluşturuyor” diyor.

Hastanın vaka analizi

Jeoloji mühendisi olan 60’lı yaşlarındaki RFS, Ekim 2010’da baş ağrısı, unutkanlık, titreme ve yürüme zorluğu gibi sorunlar yaşamaya başladı. Doktorlar bu şikayetlerinin nedeni hakkında farklı yorumlarda bulunmakla birlikte sonunda RFS’nin beyin hücrelerinin ölümüne yol açan Kortikobazal Sendromu denilen hastalığa yakalandığını keşfettiler.

Hastalık ilerledikçe rakamlar RFS’ye tuhaf görünmeye başladı. Örneğin 4 anlamsız bir şekilden ibaretti. Mesleği gereği yaşamı matematikle iç içe geçmiş biri için bu korkunç bir durumdu. Üstelik bu hastalık yüzünden yalnızca mesleğini yapamaz hale gelmekle kalmamış, aynı zamanda fiyat etiketlerini okuyamaz, otomobilinin hız göstergelerini takip edemez, kaldığı otellerde kapı numaralarını okuyamaz olmuştu.

İlginç olan RFS’nin aritmetik hesaplarını ve diğer matematiksel işlemleri zihninde yapabiliyor olmasıydı. Daha da ilginci 2’den 9’a kadar tüm rakamları karmakarışık şekiller olarak görmesine karşın 0 ve 1’i normal görmesiydi. Bunun nedeni büyük bir olasılıkla 1 ve 0’ın harflere benzemesiydi.

RFS’in bilime büyük katkısı

Bu ilginç vakayı incelemek isteyen Johns Hopkins Üniversitesi’nden (JHU) sinirbilimciler Michael McCloskey, Teresa Schubert ve David Rothlein yaptıkları bir deneyde RFS’nin köpükten kestikleri 8 rakamına dokunmasını sağladılar ve dokunma duyusunun yardımıyla rakamı tanıyıp tanımadığını test ettiler. Ne yazık ki RFS rakamı tanıyamadı. Schubert’e göre bunun nedeni beynin görmeye, diğer duyulara kıyasla öncelik tanımasıydı.

RFS’nin gönüllü olarak katıldığı bu deneylerde ilginç bir gelişme daha yaşandı. RFS’nin sorunu basit bir görsel kusur olarak değerlendirilemezdi. Her şeyden önce RFS, rakamların şeklini hangi yöne çevrilirse çevrilsin net bir şekilde görüyor, ama sayı olarak yorumlayamıyordu. Bilinçsiz beyin devreleri ne zaman bir rakamı kaydetse, her şey karmakarışık hale geliyordu. Ancak harflerde bu sorun yaşanmıyordu. Schubert’e göre bunun anlamı şuydu: “Beyinde rakamları işlemden geçiren özel bir modül bulunur. RFS’den rakamların yerine geçen yeni figürlerle hesap yapmasını istedik. RFS bu yeni figürleri rakamların yerine koyabildi ve tanıdı. Demek ki daha yüksek düzeyli matematik yeteneğinde en ufak bir bozulma yaşanmamıştı.”

Bilinçli farkındalık nasıl oluşur?

RFS’in bilime en büyük katkısı, bilinçli farkındalığın nasıl oluştuğuna ışık tutmasıydı. Başka bir deneyde JHU’den bilim insanları RFS’ye üzerine surat resimleri yapıştırılmış büyük boyutta rakamlar ve harfler gösterdiler. RFS hem rakamların, hem de harflerin üzerindeki surat çizimlerini gördüğünü söyledi. Deney sırasında alınan beyin EEG’sinde de yüz tanıma ilgili beyin dalgası (N170) tespit edildi.

Koch bunun anlamını şöyle açıklıyor: “Yüksek düzeyli bilişsel işlem ve bilinç birbirinden bağımsızdır. Biri olmadan diğeri var olabilir.”

Ne yazık ki RFS üzerinde ileri deneyler yapmak isteyen bilim insanlarının bu arzuları gerçekleşemedi. RFS’nin durumu giderek kötüleştiği için konuşma ve hareket etme yetenekleri kayboldu.

Reyhan Oksay

https://www.sciencemag.org/news/2020/07/mysterious-case-man-who-can-read-letters-not-numbers-exposes-complex-roots

Rakamları değil, yalnızca harfleri okuyan adam! yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

HBT’deki ‘Matematiğin doğuşunun eğlenceli öyküsü’ konulu yazımızı aşağıdaki paragraflarla bitirmiştik:

Matematik disiplini, uzun süredir şu felsefi ve ontolojik soru ile karşı karşıyadır: Matematik, bizim aklımızın oluşturduğu, dünyayı ve evreni anlamamızı kolaylaştıran bir araç, bir çeşit model oluşturma dili midir? Yoksa, matematik, evrenin yapısının ayrılmaz bir parçası, bizim onu bulmamızı, yaratmamızı değil de keşfetmemizi bekleyen bir özelliği midir? Değilse, matematiğin bilimin tüm dallarına uygulanabilmesini ve fiziksel dünyamızı böylesine doğru betimlemesini nasıl açıklayacağız?

Ya da, Einstein’ın deyişi ile: Nasıl oluyor ki, insan aklının bir ürünü ve onun deneyimlerinden bağımsız olan matematik, böylesine hayranlık verici bir biçimde gerçek dünyanın cisimlerine uygulanabiliyor?

Bu ‘derin’ konuyu da bu yazımızda ele alıyoruz.

Yukarıdaki soruların cevabı, doğayı ve evreni anlamamızı sağlayan mantık ve gerçeklik gibi temel kavramları bile sorgulatabilecek sonuçlara yol açabilir. Bu nedenle gerek matematikçiler gerek filozoflar yüz yıllardır konuyu tartışageldiler ve matematiği doğanın bir parçası ya da insan aklının bir ürünü olarak görenler diye ikiye ayrıldılar. Günümüzdeki tüm bilimsel ve teknik gelişmelere rağmen bu konuda kesin bir sonuca varılmış değildir. Bu nedenle yazımız her iki görüşün de varsayım ve çözümlemelerine odaklanacak.

1. Matematik evrenin dilidir

“Felsefe, Evren adlı o büyük ve bizlerin gözlemimize açık kitapta yazılıdır. Ama o kitabı anlayabilmek için önce onun dilini ve alfabesini öğrenmek gereklidir. O dil de matematiktir. Matematiğin harfleri olan üçgenler, daireler ve diğer geometrik şekilleri bilmeden de onun bir kelimesini anlamak bile olanaksızdır.”

Bu cümleler Galieo Galilei’nin 1623 yılında yazdığı ‘Il Saggiatore’ (Deneyci) adlı kitabının girişinden alınmıştır. Bu görüşe göre, evrenin tüm özellikleri onun bir parçası olan matematiğin denklemleri ile ifade edilmiştir, matematiğin insan aklından bağımsız bir varlığı mevcuttur ve insanlara kalan bu kavramları ve denklemleri keşfetmektir. Öte yandan, bu önerge kanıtlanamadığından bir bilimsel gerçek değil bir inanç konusu olmaktadır. Bu görüşün birçok savunucusu da, bunu, evrenin önceden tasarlanmış bir yapısı olduğunun yani Tanrı’nın varlığının kanıtı olarak ileri sürmektedir.

Bu görüş sahipleri, iki kere iki hep dört eder, elma yere hep 9.81 m/s2 ivme ile düşer, insanlara da bunları keşfetmek kalır demektedirler. Matematiğin, evreni çok doğru ve duyarlı biçimde modellemesi ve açıklaması, en önde gelen bilim insanlarını bile onun evrenin ayrılmaz bir parçası olduğu görüşüne yöneltmiştir.

Matematiğin doğanın bir parçası olduğu savının en popüler biçimi Platonizmdir. Plato’nun bu metafizik duruşu, matematiğin öğelerinin soyut oldukları, uzay ve zamanla ilgili ya da neden-sonuç özellikleri olmadığı, ebedi ve değişmez oldukları biçimindedir. Plato dünyanın (evrenin) üç düzlemi olduğunu, bunların da fiziksel, düşünce ve his, sayılar ve mantık düzlemleri olduğunu öne sürmüştür. Binlerce yıl öncesinden gelen bu düşünceler ve kavramlar günümüzün bile filozofları etkilemeyi sürdürmektedir.

Cumhuriyet (Republic) adlı eserinde, Plato, matematiğin gizemli doğasını ‘Mağara benzetmesi’ (Allegory of the cave) ile resmetmektedir. Bir grup mahkum yaşamlarını bir mağaranın duvarlarına zincirlenmiş ve yüzleri hep o duvarlara dönük olarak geçirmektedir. Mağaranın ortasında bir ateş yanmakta ve mahkumlar olup bitenleri ancak duvardaki gölgeler ile izleyebilmektedirler. Mahkumlar için gerçek o gölgelerdir, dünyayı yalnız onlar aracılığı ile algılayabilmektedirler. İnsanlar da, evrenin değişmez gerçeklerinin ancak bir kesitini, benzer biçimde, algılayabilirler.

2. Matematik insan zekasının bir ürünüdür

Bu görüşe göre matematik, biz insanların, gözlemlediğimiz gerçeklerin modellerini yaratmamızın aracıdır. Bu modeller sayesinde öngörülerde bulunabilir ve gerçeği daha üst bir derecede algılayabiliriz. Birçok bilim ve düşünce insanı bu görüşü savunmuş ve savunmaktadır. İmmanuel Kant, geometrinin uzayın soyutlaması, sayıların da zamanın soyutlaması olduğunu savunmuştur. Fizikçi ve filozof Ernst Mach ise matematiğin yalnızca bir hesaplama yöntemi olduğunu ve kimsenin doğanın matematiksel modellerinin güvenilirliği konusunda bir öneride bulunamayacağı görüşündedir. Hareket noktası da, matematiğin evrenin içeriğinin tam ve doğru bir çevirisi olmadığıdır.

Bizler, doğayı gözlemleyerek veri toplar ve onlardan hareketle, kendi yarattığımız bir dil olan matematik yardımı ile, teoriler ve denklemler oluştururuz. Matematiğin kuralları da doğa yasalarından kaynaklanmaz. Onları, doğanın davranışını en iyi yorumlayacak biçimde bizler belirleriz. Bütün bunları matematikten daha iyi yapacak bir araç bulunursa da onu kullanırız!

Matematiğin insan zekasının bir ürünü olduğu görüşünün en yaygın türü ‘biçimcilik’tir (formalizm – formalism). Formalizm’e göre, tüm matematik, doğru oldukları kabul edilen temel önermelerden (axioms) hareketle türetilebilir. Doğrulukları kanıtlanamayan ama öyle kabul edilen bu temel önermeler keşfedilmezler, yalnızca varsayılırlar. Teoremler de bu temel önermelerden yol çıkarak yaratılırlar.

Nobel’li Eugene Wigner ‘Doğa bilimlerinde matematiğin akıl almaz etkinliği’ (The unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences) başlıklı makalesinde ‘Matematiğin dilinin fizik yasalarının ifade edilmesine böylesine mucizevi biçimde uygun olması, bizlerin ne anlayabildiğimiz ne de hak ettiğimiz harika bir hediyedir!’ demektedir.

Wigner, tamamen soyut biçimde geliştirilen matematik kuram ve denklemlerinin sonradan doğaya uygulanabilmeleri, fizikteki gelişmeler için yaşamsal önemde olmaları ve evrenin nasıl çalışmakta olduğunu açıklamalarına özellikle ilgi duydu. Bunun en etkileyici örneklerinden biri, tavşan popülasyonlarının gelişimini incelemek için geliştirilen Fibonacci dizisidir. Bu dizinin, daha sonra, doğadaki biyolojik oluşumlara, deniz kabuklarından, çiçeklere ve ciğerlerin bronşlarına kadar pek çok yapıya uygulanabildiği anlaşılmıştır. Aynı biçimde, düğümleri yani kendi üzerine kapanan üç boyutlu eğrileri inceleyen ‘Düğüm Kuramı’ (Knot Theory), bulunuşundan 300 yıl sonra, DNA’nın katlanıp açılmasının topolojik yapısının belirlenmesinde başarı ile kullanılmaktadır.

Örneklere devam edersek:

– Kuantum mekaniği matematiğinin denklemleri son derece karmaşık ve anlaşılmaları imkansız derecede güçtür, yine de bu denklemler atom ölçeğindeki evrenin en doğru ve tutarlı tasvirini (betimlemesini) yaparlar. Tranzistorlar, lazerler ve bilgisayarlar bu denklemler sayesinde bulunmuştur.

– Birçok matematiksel yapılar bilimde kullanılmalarından çok önce geliştirilmiştir. Örneğin antimadde (antimatter) yalnızca matematik yoluyla bulunmuş ve başlangıçta doğada varlığının olanaksız olduğu düşünülmüştür. Daha sonra yürütülen deneyler ise, örneğin elektronun antimaddesi olan pozitronun ve diğer antimadde türlerinin varlığını kanıtlamıştır. Günümüzde, pozitron, tıpta PET (Pozitron Emisyonlu Tomografi) cihazlarında kullanılmaktadır.

– 1850’lerde matematikçi Berhard Riemann, Euclid’in düzlem geometrisi yerine küre ya da at eyeri gibi eğrilerden oluşan bir uzayın geometrisini geliştirdi. 1915 yılında ise Albert Einstein genel görelilik kuramını geliştirirken tam da bu geometriye gerek duydu!

Sonuç ve düşünceler

Eğer matematik doğanın bir parçası ise onun soyut kavramları ve kuralları doğada nasıl bir biçimde bulunmakta ve zekamız onları nasıl keşfetmekte, onlara ne yollarla ulaşabilmektedir? Eğer matematik tamamen soyut insan zekasının bir ürünü, bir buluşu ise nasıl oluyor da doğayı, sonsuz küçükten sonsuz büyüğe kadar, böylesine doğru ve hassas betimleyebilmekte ve açıklayabilmekte?

Buluş ve keşif sözcüklerinin anlamları arasındaki bu karşıtlık aslında onların kökeninden kaynaklanmakta. İşin içinde insan varsa buluş, yoksa keşif diyoruz. Ama bizler de doğanın bir parçası olduğumuza göre evren matematiği bizler aracılığı ile ‘keşfetmiş’ olmuyor mu? …

Görüldüğü gibi bu temel sorular günümüzde de yanıtsız kalmakta. Günün birinde zeki uzaylılar ile karşılaştığımızda onların matematiği de bizimki ile aynı ise ne düşüneceğiz acaba?…

Kaynaklar:

https://www.kpbs.org/nova/article/great-math-mystery/

https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html

Matematiğin doğası üzerine düşünceler yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

Çok eski çağlarda, milattan önce dört bin yıl öncesinin sonlarında, Mezopotamya’dayız. Tarım ve hayvancılıkla uğraşan yerleşikler, küçük köyler yerine, giderek büyüyen ve bazılarının nüfusu on bini geçen şehirlerde yaşamaya başlıyorlar. Çeşitli ‘teknolojiler’ görülmedik bir hızda ilerliyor. Çömlekçiler, dokuyucular, marangozlar, mücevherciler, heykeltraşlar, mimarlar her gün yenilenen bir yaratıcıkla karşılaştıkları sorunlara çözümler buluyorlar.

Bütün bölge, yavaş yavaş, yoğun bir yol şebekesi ile kaplanıyor. Ticari ve kültürel alışverişler çoğalıyor. Giderek karmaşıklaşan bir sosyal hiyerarşi oluşmaya başlıyor ve Homo Sapiens organize olmanın ve yönetmenin ‘keyfini’ keşfetmeye başlıyor. İnsanlığın artık yazıyı ve sayıları icat etmeye acilen ihtiyacı var! Ama bunu nasıl başaracak?

Aşağı Mezopotamya’daki Sümerler, henüz genç ama hızla gelişecek olan Kish, Nippur ve Shuruppak şehirlerini kurmuşlar bile. Ufukta ise yakın doğuyu prestiji ve gücü ile aydınlatan Uruk şehri görünmekte. Şehrin pişmiş topraktan yapılan tuğlaları ile örülen evleri kavuniçi renklerinin nüanslarını 10.000 hektardan daha büyük bir alana yayıyorlar. İnsanlarla ve tezgahlarla dolu sokaklarda kaybolan bir yabancı yolunu bulabilmek için saatlerce dolaşmak zorunda kalıyor.

Yaz gelmekte. Yakında koyun sürüleri otlamaya kuzeydeki meralara çıkacaklar ve sıcak mevsim bittiğinde dönecekler. Sürülerin sahiplerinin ise bir sorunu var. Hayvanlarını teslim edecekleri çobanların aldıkları kadar koyunu geri getirdiklerini nasıl bilecekler? Bunun ise birkaç yüzyıldır kullanılan bir çözümü var: Kilden (pişirilmiş çamurdan) yapılan minik jötonlardan (taşlardan) koyun sayısı kadarını toprak bir kaba koymak ve sürü döndüğünde jöton ve koyun sayısını karşılaştırmak.

Bu denenmiş ve çalışan sistem yanlız koyun sürüleri için değil diğer hayvanlar hatta cisimler için de kullanılmakta. Karışıklıkları önlemek için ise jötonların üzerine farklı simgeler çiziliyor. Koyunun simgesi bir çarpı işareti örneğin. Çok sonraları bu minik jetonlar latince ‘küçük çakıl’ anlamına gelen ‘calculi’ adını alıyor, bu da batı dillerinde ‘hesap’ anlamına gelen ‘calcul’ sözcüğüne dönüşüyor!

Bu pratik yöntemin önemli bir sorunu da var. İçinde taşların olduğu kapları kim saklayacak? Sorun önemli, zira sürü sahiplerinin çobanlara güvenmediği kadar çobanlar da sürü sahiplerine güvenmiyorlar. Kaplar onlarda kalırsa içindeki taşlara bir miktar daha taş ekleyebilir ve sürü döndüğünde, çobana, ‘Hayvanlarım eksik, zararımı karşıla!’ diyebilirler. Buna bulunan çözüm ise taşların bulunduğu kabın üstünü kil ile güzelce kapatmak ve üstünü de her iki tarafa ‘imzalatmak’.

Evet, koyun sayıcı taşlarla hile yapmak artık pek olası değil ama zengin bir sürü sahibi, birçok sürüsünde toplam kaç baş hayvanı olduğunu bilmek isterse, bunu örneğin ticaret yaparken kullanacaksa, ne yapacak? Her kaptaki jöton sayısını akılda mı tutacak? Üstelik Sümer dilinde henüz büyük sayıları ifade edecek kelimeler de yok..

Sonunda çözüm bulunuyor, ucu sivriltilmiş bir kamışla, kabın üzerine içindeki taşların resimlerini (yukarıdaki fotoğrafta görüldüğü gibi) çizmek! Böylece kabı kırıp içindekileri saymaya gerek kalmadan taş sayısı bilinebiliyor. Bu yöntem çok revaçta ve herkesin işine geliyor. Tahıllar, kumaş, metaller, kıymetli taşlar, yağ, çömlek, hepsinin jötonları var. Vergiler bile aynı yöntemle alınıp izleniyor.

Milattan önce dördüncü bin yıl sonu, Uruk’ta bu sistem böyle sürüp giderken bir gün çok parlak bir fikir ortaya çıkıyor. Hani şu, ‘Aa ben bunu nasıl düşünemedim ki?’ dedirten çok basit ve dahiyane fikirlerden biri. ‘Yahu, biz koyunların sayısını kabın üzerine çizdiğimize göre kabın içine neden taş koymaya devam ediyoruz ki!’ fikri… Ee, o zaman, kaplarla uğraşmaya da gerek yok ki, koyun sayısını gösteren çizimimizi kilden yapılmış düz tabletler üzerine yapalım, hem daha kolay, hem de daha kullanışlı olur… İşte bu dahice fikre ve geliştirilerek uygulanmasına biz bugün YAZI adını veriyoruz. Gerisi çorap söküğü gibi geliyor, değişik cisimlere değişik semboller veriliyor, çivi yazısı ortaya çıkıyor.

Zaman akışını sürdürüyor ve biz milattan önce üç bin yılının başlarındayız. Şimdi sayıların serüveninde bir kilometre taşına daha geldik: Sayı artık saydığı cisimden bağımsız hale geldi. Şimdiye kadar, taş dolu kaplarda, ya da üzeri çizili tabletlerde kullanılan simgeler saydıkları varlık ya da cisme göre biçimleniyordu. Koyun sayısı simgesi inek sayısı simgesinden farklıydı.

Ama artık değil! Çünkü sayıların kendi simgeleri var. Sekiz koyun yazmak için sekizin simgesi ile koyunun simgesini yan yana getirmek yeterli. İnsan aklının ve düşüncesinin tarihinde bu gelişme çok çok önemlidir ve matematiğin doğuş anı diye nitelenebilir. Sayı artık gerçek dünyadan ayrılarak soyut bir varlık, bir kavram olarak aklımızda var olmaya başlamıştır. Gerçeğe daha yukarıdan, daha bütüncül bakmamızı sağlayan bir soyut varlık. Matematiğin incelediği cisimlerin maddi varlıkları yoktur, atomlardan yapılmamışlardır, yanlızca fikirlerden oluşurlar. Ama, dünyamızı anlamak için de o soyut varlıkların üstüne yoktur. İşte bu şekilde doğan matematik soyut düşüncenin de temeli olmuştur.

Öte yandan, yüzyıllar, daha doğrusu bin yıllar boyunca gelişerek, günümüzde insan aklının dev bir yapıtı olarak karşımıza çıkan günümüzün çok kapsamlı ve karmaşık matematik disiplini uzun süredir şu felsefi ve ontolojik soru ile karşı karşıyadır: Matematik, bizim aklımızın oluşturduğu, dünyayı ve evreni anlamamızı kolaylaştıran bir araç, bir çeşit model oluşturma dili midir? Yoksa, matematik, evrenin yapısının ayrılmaz bir parçası, bizim onu bulmamızı, yaratmamızı değil de keşfetmemizi bekleyen bir özelliği midir? Değilse, matematiğin bilimin tüm dallarına uygulanabilmesini ve fiziksel dünyamızı böylesine doğru betimlemesini nasıl açıklayacağız?

Ya da, büyük Einstein’ın deyişi ile: Nasıl oluyor ki, insan aklının bir ürünü ve onun deneyimlerinden bağımsız olan matematik, böylesine hayranlık verici bir biçimde gerçek dünyanın cisimlerine uygulanabiliyor? Bu ‘derin’ konuyu da bir diğer yazıda inceleyeceğiz.

Erdal Musoğlu / emusoglu@gmail.com

Kaynak: Le grand roman des maths, Mickael Launay, J’ai lu, Flammarion 2016

Matematiğin doğuşunun eğlenceli öyküsü yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

O, çağının ötesinde bir matematik dehası ve savaşı bitiren kahraman bir bilim insanı olarak anıldı. Yazdığı ve çığır aşan bir tek “Saptama problemi hakkında bir uygulama ile birlikte hesaplanabilir sayılar üzerine” bilim makalesiyle, modern bilgisayarların neler yapabileceğini gösterdi. Bugün kullandığımız bilgisayarların yolunu açtı. Bu makaleyi yazdığında yalnızca 24 yaşındaydı.

Bilgisayarın bugün ne anlama geldiğini ve neler yapabileceğini az çok biliyoruz. Ancak bir zaman makinesine girip bundan seksen yıl öncesine gitsek ve karşımıza çıkan ilk insana “bilgisayar” desek aklına “hesap yapan bir insan” gelirdi. Çünkü o dönemin bilgisayarları, bir masanın başında hesap yapan ve yaptıkları bu hesapları tablolar halinde kitaba çeviren insanlardı. Ve bilim insanlarından bankacılara birçok insan, onların hazırladığı bu hesap kitaplarını kullanarak çalışıyordu. Belki de hesap-kitap sözü buradan geliyordu.

Ancak Charles Babbage isimli bir polimat (çok yönlü alim – bilimci), söz konusu tabloların hatalarla dolu olduğunu söyleyerek bu duruma karşı çıkacak ve insanların yaptığı hesapları hata yapmadan gerçekleştirmesi amacıyla bir makine tasarlayacaktı.

Bu icadına “Fark Makinesi” adını koydu. 1837’de bu makinenin prototipini de üreten Babbage için bu yeterli değildi. Çünkü bu makine sadece toplama yapabiliyordu. O, her türlü hesabı yapabilen bir makine geliştirmek istemiş ve aslında teoride başarılı da olmuştu. “Analitik Makine” adını verdiği bu cihaz, ana işlemci ve bellek de dahil olmak üzere temel bilgisayar özelliklerine sahip olacaktı. 1871’deki ölümüne kadar – lokomotif büyüklüğünde olması beklenen – bu makinenin üretilebilmesi için uğraşsa da başarılı olamayacaktı.

Alan Turing’in öncülü, polimat Charles Babbage’dı (1791-1871) Ölümüne kadar programlanabilir bir bilgisayarın üretilebileceğini düşündü ve bunun için çalıştı. (Solda)

Modern bilgisayarın doğuşu: Turing makinesi

Programlanabilir bir bilgisayarın üretilebilmesi için tarih yapraklarının dökülmesi gerekiyordu. Ta ki Alan Turing’e kadar! Turing, 1936 tarihli “On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem”, Türkçesiyle “Saptama problemi hakkında bir uygulama ile birlikte hesaplanabilir sayılar üzerine” makalesiyle, modern bilgisayarların neler yapabileceğini gösteren çığır açıcı bir makaleyle bugün kullandığımız bilgisayarların yolunu açacaktı. Bu makaleyi yazdığında yalnızca 24 yaşındaydı.

Entscheidungsproblem kavramı, 1928’de Alman matematikçi David Hilbert’in bir matematik önermenin doğruluğu veya yanlışlığına karar verebilecek bir algoritmanın olup olamayacağını irdeliyordu. Karar problemi adı verilen bu problemin çözümü, bilgi işlem teknolojilerinin gerçek (insan gibi) olması, bir başka deyişle, tüm hesaplama işlemini bir makinenin yapabileceği anlamına geliyordu.

Bunun üzerine Turing, matematiğin tüm problemlerini çözebilecek bir makine düşledi. Eğer matematik, karar verilebilir bir bilim dalıysa, kurallara bağlı matematiksel bir problemi çözmek için sonsuz bir kâğıt şeridine basılan sembolleri okuyabilecek bir makineydi bu: Sembolü sil veya yeni bir sembol yaz; şeridi bir boşluk sola veya sağa kaydır veya dur. Şeridin kendi içinde de kurallar belirlenerek fonksiyonları gerçekleştirebilecek şekilde programlanabilen bir aygıttı söz konusu olan: Turing Makinesi!

Turing Makinesi’ni başlangıç noktası olarak aldığımızda modern bilgisayar biliminin kurucusu kimdir sorusunun cevabı da Alan Turing olarak karşılık buluyor. Çünkü bugünkü anlamda bir bilgisayar için model oluşturan fonksiyonel makinenin kuramsal altyapısını oluşturan oydu. Ancak Turing, kuramsal çalışmaları kadar pratiğe de önem veriyordu.

Turing için “modern bilgisayar biliminin kurucusu” olduğu kadar “2. Dünya Savaşı’nın seyrini değiştiren bilim insanı” da diyebiliriz. Savaş sırasında neredeyse herkesin “çözülemez” dediği, Nazilerin şifreli mesajlarını, hummalı bir çalışmanın ardından geliştirdiği bir bilgi işlem teknolojisiyle (Bombe) çözen Turing, savaşın da daha kısa sürede nihayete ermesini sağlayacaktı.

Calculus öğrenmeden ileri matematik problemlerini çözebilen deha

Şimdi biraz geriye gidelim ve Alan Turing efsanesinin nasıl başladığına bakalım. Babası Hindistan’da görevli bir devlet görevlisiyken Alan’ın 23 Haziran 1912’deki doğumu için Londra’ya dönmüştü ailesi. 14 yaşında Dorset’teki (Güney İngiltere) tutucu bir okul olan Sherborne School’a gönderilen Alan, daha o yaşlarda bilime meraklıydı ve kendine has bir dehaya sahipti.

Genç Alan, Calculus öğrenmeden ileri matematik problemleri üzerine kafa yoruyor ve çözme başarısını da gösteriyordu. Daha o yaştayken Albert Einstein’ın çalışmalarını kavrayabiliyordu. Bu deha, öğretmenleri tarafından fark edilse de tutucu bir okuldaydı ve gelişip serpilmesi için bir rampaya ihtiyacı vardı. Tam da bu süreçte, dramatik bir olay yaşadı. Sherborne’daki son döneminde yakın arkadaşını kaybetti. Bunun üzerine tüm dinsel inançlarından sıyrılarak ateist oldu.

Eğitimine, İngiltere’deki birçok dehanın buluşma noktası Cambridge’deki King’s College’da devam eden Alan, aldığı matematik eğitimini 1934’te “onur derecesi” ile tamamladı. Tabii bu başarısı, onu “akademik üye” mertebesine taşıyacaktı. Ardından Alan Turing efsanesini yaratan “hesaplanabilir sayılar” çalışmaları başlayacaktı.

Bilgisayar Çağı’nı getiren kavram: Hesaplanabilir sayılar

Turing’in çığır açıcı makalesinin ana konusu olan “hesaplanabilir sayılar” kavramı, bugün bize oldukça sıradan bir kavram olarak gelebilir. Sonuçta masamızın üzerinde duran basit bir hesap makinesinden tutun da kişisel bilgisayarımıza kadar bu ana kavram üzerinden işleyen aletlere sahibiz. Bilmeyiz ki bu kavramın sıradanlaşmasının ve bugün dünyada en çok kullanılan teknolojik aletler olan bilgisayarların tohumunun Turing’in o makalesiyle atıldığını…

Turing’in o makalesi, ileriki on yıllarda bir devrime ve paradigma değişimine neden olarak “Bilgisayar Çağı”nı getirmişti. Çünkü Turing’in çalışmaları, hesaplama işlemini makinelere yaptırarak çığır açıcı bir buluşa imzasını atacaktı. Bugünkü bilgisayarlar ve onları işleten programların özü bu kavram üzerine kuruluydu.

Tabii Turing’in çalışmaları başlı başına büyük etki yaratmasının yanı sıra birçok bilim insanının da bir noktada eksik kalan çalışmalarını tamamlaması açısından önemliydi. Sözgelimi, Alman matematikçi Kurt Gödel’in “evrensel makine” çalışmalarına büyük bir dayanak noktası sağlamış ve “Turing Makinesi” kavramının ortaya atılmasına neden olmuştu. Bu tip bir makine, algoritmada karşılığını bulan matematik hesaplamaları yapabilirdi. Ancak Turing, bugün “durma problemi” olarak da bilinen, Turing makinesinin yeterliliğine algoritma ile karar vermenin imkânı olmadığını ve bu sebeple söz konusu problemin çözümsüz olduğunu gösterecekti.

Dünya Savaşı sırasında Nazilere büyük bir güç veren üç çarklı Enigma makinesi, ordunun bütün stratejik manevraları için talimatların iletimini içermesi bakımından kritik bir öneme sahipti. Almanlara göre bu makinenin şifreleri çözülemezdi. Ancak unuttukları biri vardı: Alan Turing!

Savaşı bitiren icat

Şimdi yukarıda sadece değindiğimiz, Turing’in savaşı erken bitiren icadını daha derinlemesine inceleyelim. 2. Dünya Savaşı, Turing’in isminin sadece bilim değil dünya tarihine de yazılmasına neden olmuştu. Turing, İngiltere istihbaratının uzun süredir yakın markajındaydı. Çünkü Turing, yaptığı çalışmalarla savaşın kilit stratejik alanlarından “şifre çözme” konusunda ülkesine yardımcı olabilirdi. Bunun üzerine Turing, Nazi şifrelerinin çözülmesi için çalışan Bletchley Park’a davet edilmişti.

Burada Government Code and Cypher School’da (Hükümet Kod ve Şifre Okulu) Alman ordusunun elindeki Enigma makinesinden çıkan şifreli mesajların çözülmesi için sıkı bir çalışma yürütülüyordu. Ancak bu çaba yeterli değildi, böylesi büyük bir savaşta, düşmanınızın manevralarını önceden kestirebilmek ve gerekli önlemleri alabilmek için çok hızlı şifre çözümü yapılması gerekirken kısa şifrelerin çözümleri bile bazen günler alabiliyordu. Zira bu şifrelerin çözümü manuel, yani insan eliyle yapılıyordu.

Çözüm, Turing’in dehasında saklıydı. Turing, “Kimse bu konuda bir şey yapmıyor, bu tamamen benim işim olabilirdi.” diyerek kolları sıvadı ve başına geçtiği “Hut 8” ekibiyle birlikte Alman deniz kuvvetlerinin şifreli mesajlarını çözmeye girişti. İsmini, bombe adı verilen eski bir Polonya teknolojisinden alan, ancak Turing’in dokunuşuyla daha etkin bir hal alan devasa Bombe tasarımı, Nazilerin çözülemez dediği Enigma makinesinin şifrelerinin deşifre edilmesini sağlayacaktı. Ancak bu süreç oldukça sancılı geçecekti.

Bombe, temel olarak şifreli metinden (krip) bir parça alıyor ve Enigma’nın çark ve dağıtım tablosunun kombinasyonlarından geçiriyordu. Makine, ayrıntılı olarak incelemeye değer kombinasyonları çıkarana kadar çeşitli çelişkiler üretiyor ve daha az olası kombinasyonları kendi kendine eliyordu. Bunu bir insanın yapması günler ve haftalar alabilecekken Bombe bu süreyi gün ve günlere indiriyordu.

Bununla birlikte Turing, Bletchley Park’ta çalıştığı süre boyunca kriptoloji alanında fayda sağlayacak birçok yöntem geliştirmişti. 1942’de geliştirdiği ve Almanların stratejik emirlerini şifreleyen Lorenz şifre makinesinin çarklarındaki dizgiyi elle çözmeye yarayan Turingismus ve dünyanın ilk programlanabilir dijital elektronik bilgisayarı Colossus bunlardan yalnızca ikisiydi.

Alan Turing’in geliştirdiği elektromekanik şifre çözme makinesi Bombe (sağda) Almanların şifresi çözülemez dediği Enigma makinelerinin işleyişini çözerek İngiltere’nin Nazi Almanyası karşısında zafer kazanmasını sağlamıştı.

Yapay zeka çalışmaları

Bir makine düşünebilir mi?

Turing, savaştan sonra da çalışmalarına devam etti. Aklındaki belki de en nefes kesici soru: “Bir makine düşünebilir miydi?” sorusuydu. Makinenin zekâsı olabileceğini düşünüyordu ve “Turing testi” denen bir test hazırladı. Bu teste göre eğer makineler düşünebiliyorsa bir insandan ayırt edilemez olmalıydı. Bu minvalde kafa yoran Turing, devreleri, yönergeleri saklayan ilk bilgisayarlardan olan Manchester Mark 1 ve Pilot ACE (Otomatik Hesaplama Moturu) gibi bilgisayarlar üzerinde çalıştı. (Turing Testi halen başarıya ulaşmış değil. Eğer başarılırsa yapay zekânın zaferi olarak nitelendirilecek. Çalışmalar halen devam ediyor.)

İngiltere’ye katkılarından ötürü 1945’te şövalyelik nişanı almasına ve 1951’de Royal Society’ye (Kraliyet Cemiyeti) seçilmesine rağmen, devletin üst kademeleri ve istihbarat yetkilileri hariç kimse onun ne iş yaptığını ve kim olduğunu bilmiyordu. Turing’in eşcinsel olmasının da bunda büyük bir etkisi vardı tabii ki. Zira Turing, eşcinsel olmanın toplum tarafından kabul görmediği ve hatta hukuken yasak olduğu bir dönemde yaşıyordu. Bu sebeple 1952’de bir suçlamaya bile maruz kalmış, homoseksüelliğin bir “hastalık” olduğu düşünülerek hormon tedavisi uygulamasına tabi tutulmuştu. (İngiltere hükümeti, Turing’in gördüğü muamele yüzünden 2009’da resmen özür diledi.)

Zehirli elma

Bu hatalı uygulamalar onun psikoloji üzerinde olumsuz etkiler yapmaya başlamasına rağmen o, bilim merakından ve çalışkanlığından vazgeçmedi. Matematiksel biyolojide, organizmalara biçim veren “morfogenez” kavramı üzerine çalışmalar yürüttü. Bu makaleleri 1992’ye kadar yayımlanmadı.

Çağının çok ötesinde bir deha olan Alan Turing, 8 Haziran 1954’te evinde ölü bulundu. Ölüm nedeni siyanür zehirlenmesiydi ve öldüğünde yanı başında bulunan ısırık elma hiçbir zaman test edilmedi. Ölüm nedeninin intihar olduğu söylendi. Bir deha olarak değer görmesi ise ancak ölümünden sonra gerçekleşecekti. Bugün bilgisayar biliminin en seçkin ödülü onun ismini alıyor ve daha da değerlisi, her bilgisayar bilimci ve matematikçinin kalbinde yatan aslandır o; Alan Turing…

Not: Başrollerini Benedict Cumberbatch ve Keira Knightley’in paylaştığı 2014 yapımı The Imitation Game filmi hem Enigma’nın şifre çözüm sürecini hem de Turing’in cinsel tercihleri sebebiyle yalnızlaştırılmasını konu ediniyor.

Matematik bilgisayar ile kesin olarak çözülebilir mi?

1936-38 arasında Princeton Üniversitesi’nde Alonzo Church danışmanlığında doktorasını veren Turing, hocasıyla birlikte, fonksiyonların Turing Makinesi kullanılarak hesaplanabileceğini ileri süren bir tezi (Church-Turing tezi) ortaya attı. Bu tez kanıtlanamasa da bilgisayarcılar tarafından genel olarak kabul gördü. Turing Makinesi, günümüzde kullanılan bilgi işlem süreçlerinin hafıza, girdi-çıktı ve programlama özelliklerini öngörüyordu. Turing, herhangi bir matematiksel ifadenin doğru mu yoksa yanlış mı olduğunu belirleyebilecek bir prosedür olmadığını kanıtladı. Sonuç: Matematik kökten çözülemezdi.

Enigma neydi?

1. Dünya Savaşı sırasında şifresiz ya da kırılması kolay şifrelerle Almanları zor durumda bırakan iletişim sisteminin yenilenmeye ihtiyacı vardı. Alman Ordusu, aradığı çözümü 1918’de bulacaktı. Alman mühendis A. Scherbius’un patentini aldığı Enigma, yıllar süren eğitim ve geliştirme çalışmalarının ardından 1928’de faaliyete geçirilerek Nazilere 2. Dünya Savaşı’nın başında büyük bir üstünlük verdi.

İşleyişi: Denizaltılardan demiryollarına binlerce noktada kullanılan Enigma, ilkin güvenli olarak gönderilmesi gereken bir iletiyi şifreliyor. Ardından şifrelenmiş mesaj, alıcısına radyo, telgraf veya kurye tarafından ulaştırılıyor. Alıcı da yine Enigma’yı kullanarak mesajı deşifre ederek kodlanmamış düz metin haline getiriyordu.

Savaş boyunca yüz binden fazla üretilen Enigma, Hitler’in en büyük gücüydü. İngilizler, Enigma şifresini kırmak için 12.000 personel görevlendirdi. Ancak hiçbiri Alan Turing kadar başarılı olamayacaktı.

Batuhan Sarıcan / batusarican@gmail.com

Kaynak:

Andrew Robinson, Bilim İnsanları: Bir Keşif Destanı. Çev: Y. Türedi, Yapı Kredi Yayınları, İstanbul, 2014, s.270-275

Graham Lawton, Neredeyse Her Şeyin Kökeni. Çev: Y.A. Dalar, Türkiye İş Bankası Kültür Yayınları, İstanbul, 2019, s.218-219

Süleyman Sevinç, Kriptolojinin Dönüm Noktası: Enigma. TÜBİTAK, Ankara, 2012

Nazileri bitiren bilim insanı: Alan Turing yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

Temel eğitim sürecinde verilen matematik eğitimi ile ilgili olarak, “ne işe yarayacak?” sorusuna olumlu yanıt verebilmek, matematiğin gerçek yaşamdaki rolünü anlama ve karşılaşılan sorunların çözümünde matematiği kullanabilme yeterliğini (gerekli beceri, bilgi, nitelik ve kapasiteye sahip olma) kazandırmakla olanaklı olabilir. Yani “matematik okuryazarlığına” sahip olmakla. Sözü edilen yeterlikler, problem çözme, matematiksel modelleme ve muhakeme etme ile sembolleri ve formal dili kullanma, iletişim ve matematiksel araç ve gereçleri kullanma yeterliğidir.

Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi (National Council of Mathematics Teachers, NCTM) matematik okuryazarlığını, “birçok farklı durum ve koşullar içinde işlevsel olarak kullanılan matematik bilgisi” olarak tanımlamaktadır (Pugalee, 1999).

Bilişimin, yapay zekanın iş yapma biçimlerini derinden dönüştürdüğü günümüzün bilgi dünyasında analitik beceri gerektiren mesleklerin ortaya çıkması nedeniyle herkesin matematiği bir araç olarak kullanabilmesi gerekmektedir. Matematik okuryazarlığı kişiye, sayısal ve uzamsal düşünmede yorumlama yapmayı, güven duymayı, günlük hayatta karşılaşılan durumlarda eleştirel analiz yapmayı ve problem çözmeyi sağlar.

Matematik okuryazarı bir kişi sayılarla işlem yapabilir, tahmin edebilir, veriyi yorumlayabilir, günlük problemleri çözmede sayısal, grafiksel ve geometrik akıl yürütme yapabilir ve matematik kullanarak iletişim kurabilir. Matematiksel düşünceleri ve kavramları sözel ifadelerde kullanabilir,  mantıksal süreçlerde matematiği yerinde kullanabilir, ekonomik ve politik konularda da matematikten yararlanabilir ve ilişkiler arasında anlamlı mantıksal bağlar kurabilir.

Matematik ve matematik okuryazarlığı arasındaki fark

TDK Matematik Terimleri Sözlüğü’nde matematiğin tanımı şöyle yapılmaktadır: 1. Biçim, sayı ve çoklukların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri mantık yoluyla inceleyen ve aritmetik, cebir, geometri gibi dallara ayrılan bilim. 2. Sıralama, cebir, topoloji gibi matematiksel yapı tiplerini inceleyen yapı bilim.

Saf matematik,  trigonometri, diferansiyel denklemler, topoloji, analiz, lineer cebir, soyut cebir içerir. Bu içeriği ile matematik özel bir öğretim gerektirir ve bir mesleği de tanımlar.

Bir kişinin matematik okuryazarlığı ile amaçlanan ise günlük hayatta çoğunluğu dört işlemle yapılan temel hesaplamaları yapabilmesi (aritmetik), hacim, ağırlık, zaman ve sıcaklık kavramlarını ve ilgili metrikleri bilmesi, çevrimlerini ve hesaplamalarını yapabilmesi, neden-sonuç ilişkisi kurabilmesidir. Ayrıca çokgenleri tanıyabilmesi, alan ve çevrelerini hesaplayabilmesi (geometri) de matematik okuryazarlığı tanımı içindedir.  Basit grafikleri, diyagramları, şemaları anlayabilmesi, bunlarla ilgili aritmetik işlemleri yapabilmesi de beklenir.

OECD ülkeleri tarafından geliştirilen Uluslararası Öğrenci Değerlendirme Programı (PISA) 2018 verileri öğrencilerin bilgi ve becerileri değerlendirilirken “matematik okuryazarlığı” kavramı üzerinde önemle durulmaktadır. Türkiye, 79 ülkenin katıldığı PISA 2018 değerlendirmesinde matematikte 42. sırada yer aldı. Matematikte OECD ortalaması olan %76’ya kıyasla Türkiye’de öğrencilerin %63’ü, 2. düzey ve üzerine erişebilmiş (6 düzey). Bir başka deyişle %27’si matematik okuryazarlığına ulaşamamış. Matematik alanında 5. düzey ve üzerine çıkan öğrenciler ise, OECD ortalaması olan %11’e kıyasla Türkiye’de %5 düzeyinde kalıyor.

Bu sonuçlar “asgari müşterek” hesabını yapamayıp, anlaşmak yerine neden çoğunlukla kavga edildiğinin ipuçlarını vermesinin ötesinde, oluşmakta olan geleceğin dünyasını inşa etmek için gerek duyulan en az yeterlik ve yetkinliğe sahip insan kaynağına sahip olup olmadığımız konusunda da ciddi kuşkular duymamızı gerektirmiyor mu?

Müfit Akyos / mufitakyos@gmail.com

Matematik okuryazarlığı yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

Kimine göre çağının ötesinde bir matematik dehası ve savaşı bitiren kahraman bir bilim insanı, kimine göre ise cinsel tercihleri yüzünden toplumun ahlakını bozan bir utanmazdı. Yapay zekâ ve modern bilgisayarların yaratıcısı Alan Turing’i ölümünün yıl dönümünde anıyoruz.

Bilgisayarın bugün ne anlama geldiğini ve neler yapabileceğini az çok biliyoruz. Ancak bir zaman makinesine girip bundan seksen yıl öncesine gitsek ve karşımıza çıkan ilk insana “bilgisayar” desek aklına “hesap yapan bir insan” gelirdi. Çünkü o dönemin bilgisayarları, bir masanın başında hesap yapan ve yaptıkları bu hesapları tablolar halinde kitaba çeviren insanlardı. Ve bilim insanlarından bankacılara birçok insan, onların hazırladığı bu hesap kitaplarını kullanarak çalışıyordu. Belki de hesap-kitap sözü buradan geliyordu.

Ancak Charles Babbage isimli bir polimat (bin bir bilimci), söz konusu tabloların hatalarla dolu olduğunu söyleyerek bu duruma karşı çıkacak ve insanların yaptığı hesapları hata yapmadan gerçekleştirmesi amacıyla bir makine tasarlayacaktı. Bu icadına “Fark Makinesi” adını koydu. 1837’de bu makinenin prototipini de üreten Babbage için bu yeterli değildi. Çünkü bu makine sadece toplama yapabiliyordu. O, her türlü hesabı yapabilen bir makine geliştirmek istemiş ve aslında teoride başarılı da olmuştu. “Analitik Makine” adını verdiği bu cihaz, ana işlemci ve bellek de dahil olmak üzere temel bilgisayar özelliklerine sahip olacaktı. 1871’deki ölümüne kadar -lokomotif büyüklüğünde olması beklenen- bu makinenin üretilebilmesi için uğraşsa da başarılı olamayacaktı.

Alan Turing’in öncülü, polimat Charles Babbage’dı (1791-1871). Ölümüne kadar programlanabilir bir bilgisayarın üretilebileceğini düşündü ve bunun için çalıştı.

Modern bilgisayarın doğuşu

Programlanabilir bir bilgisayarın üretilebilmesi için tarih yapraklarının dökülmesi gerekiyordu. Ta ki Alan Turing’e kadar! Turing, 1936 tarihli “On computable numbers with an application to the Entscheidungsproblem”, Türkçesiyle “Saptama problemi hakkında bir uygulama ile birlikte hesaplanabilir sayılar üzerine” makalesiyle, modern bilgisayarların neler yapabileceğini gösteren çığır açıcı bir makaleyle bugün kullandığımız bilgisayarların yolunu açacaktı. Bu makaleyi yazdığında yalnızca 24 yaşındaydı.

Entscheidungsproblem kavramı, 1928’de Alman matematikçi David Hilbert’in bir matematik önermenin doğruluğu veya yanlışlığına karar verebilecek bir algoritmanın olup olamayacağını irdeliyordu. Karar problemi adı verilen bu problemin çözümü, bilgi işlem teknolojilerinin gerçek (insan gibi) olması, bir başka deyişle, tüm hesaplama işlemini bir makinenin yapabileceği anlamına geliyordu.

Bunun üzerine Turing, matematiğin tüm problemlerini çözebilecek bir makine düşledi. Eğer matematik, karar verilebilir bir bilim dalıysa, kurallara bağlı matematiksel bir problemi çözmek için sonsuz bir kâğıt şeridine basılan sembolleri okuyabilecek bir makineydi bu: Sembolü sil veya yeni bir sembol yaz; şeridi bir boşluk sola veya sağa kaydır veya dur. Şeridin kendi içinde de kurallar belirlenerek fonksiyonları gerçekleştirebilecek şekilde programlanabilen bir aygıttı söz konusu olan: İşte karşınızda Turing Makinesi!

Turing Makinesi’ni başlangıç noktası olarak aldığımızda modern bilgisayar biliminin kurucusu kimdir sorusunun cevabı da Alan Turing olarak karşılık buluyor. Çünkü bugünkü anlamda bir bilgisayar için model oluşturan fonksiyonel makinenin kuramsal altyapısını oluşturan oydu. Ancak Turing, kuramsal çalışmaları kadar pratiğe de önem veriyordu.

Turing için “modern bilgisayar biliminin kurucusu” olduğu kadar “2. Dünya Savaşı’nın seyrini değiştiren bilim insanı” da diyebiliriz. Savaş sırasında neredeyse herkesin “çözülemez” dediği, Nazilerin şifreli mesajlarını, hummalı bir çalışmanın ardından geliştirdiği bir bilgi işlem teknolojisiyle (Bombe) çözen Turing, savaşın da daha kısa sürede nihayete ermesini sağlayacaktı.

Calculus öğrenmeden ileri matematik problemlerini çözebilen deha

Şimdi biraz geriye gidelim ve Alan Turing efsanesinin nasıl başladığına bakalım. Babası Hindistan’da görevli bir devlet görevlisiyken Alan’ın 23 Haziran 1912’deki doğumu için Londra’ya dönmüştü ailesi. 14 yaşında Dorset’teki (Güney İngiltere) tutucu bir okul olan Sherborne School’a gönderilen Alan, daha o yaşlarda bilime meraklıydı ve kendine has bir dehaya sahipti. Genç Alan, Calculus öğrenmeden ileri matematik problemleri üzerine kafa yoruyor ve çözme başarısını da gösteriyordu. Daha o yaştayken Albert Einstein’ın çalışmalarını kavrayabiliyordu. Bu deha, öğretmenleri tarafından fark edilse de tutucu bir okuldaydı ve gelişip serpilmesi için bir rampaya ihtiyacı vardı. Tam da bu süreçte, dramatik bir olay yaşadı. Sherborne’daki son döneminde yakın arkadaşını kaybetti. Bunun üzerine tüm dinsel inançlarından sıyrılarak ateist oldu.

Eğitimine, İngiltere’deki birçok dehanın buluşma noktası Cambridge’deki King’s College’da devam eden Alan, aldığı matematik eğitimini 1934’te “onur derecesi” ile tamamladı. Tabii bu başarısı, onu “akademik üye” mertebesine taşıyacaktı. Ardından Alan Turing efsanesini yaratan “hesaplanabilir sayılar” çalışmaları başlayacaktı.

Bilgisayar Çağı’nı getiren kavram: Hesaplanabilir sayılar

Turing’in çığır açıcı makalesinin ana konusu olan “hesaplanabilir sayılar” kavramı, bugün bize oldukça sıradan bir kavram olarak gelebilir. Sonuçta masamızın üzerinde duran basit bir hesap makinesinden tutun da kişisel bilgisayarımıza kadar bu ana kavram üzerinden işleyen aletlere sahibiz. Bilmeyiz ki bu kavramın sıradanlaşmasının ve bugün dünyada en çok kullanılan teknolojik aletler olan bilgisayarların tohumunun Turing’in o makalesiyle atıldığını…

Turing’in o makalesi, ileriki on yıllarda bir devrime ve paradigma değişimine neden olarak “Bilgisayar Çağı”nı getirmişti. Çünkü Turing’in çalışmaları, hesaplama işlemini makinelere yaptırarak çığır açıcı bir buluşa imzasını atacaktı. Bugünkü bilgisayarlar ve onları işleten programların özü bu kavram üzerine kuruluydu.

Tabii Turing’in çalışmaları başlı başına büyük etki yaratmasının yanı sıra birçok bilim insanının da bir noktada eksik kalan çalışmalarını tamamlaması açısından önemliydi. Sözgelimi, Alman matematikçi Kurt Gödel’in “evrensel makine” çalışmalarına büyük bir dayanak noktası sağlamış ve “Turing Makinesi” kavramının ortaya atılmasına neden olmuştu. Bu tip bir makine, algoritmada karşılığını bulan matematik hesaplamaları yapabilirdi. Ancak Turing, bugün “durma problemi” olarak da bilinen, Turing makinesinin yeterliliğine algoritma ile karar vermenin imkânı olmadığını ve bu sebeple söz konusu problemin çözümsüz olduğunu gösterecekti.

2. Dünya Savaşı sırasında Nazilere büyük bir güç veren üç çarklı Enigma makinesi, ordunun bütün stratejik manevraları için talimatların iletimini içermesi bakımından kritik bir öneme sahipti. Almanlara göre bu makinenin şifreleri çözülemezdi. Ancak unuttukları biri vardı: Alan Turing!

Savaşı bitiren icat

Şimdi yukarıda sadece değindiğimiz, Turing’in savaşı erken bitiren icadını daha derinlemesine inceleyelim. 2. Dünya Savaşı, Turing’in isminin sadece bilim değil dünya tarihine de yazılmasına neden olmuştu. Turing, İngiltere istihbaratının uzun süredir yakın markajındaydı. Çünkü Turing, yaptığı çalışmalarla savaşın kilit stratejik alanlarından “şifre çözme” konusunda ülkesine yardımcı olabilirdi. Bunun üzerine Turing, Nazi şifrelerinin çözülmesi için çalışan Bletchley Park’a davet edilmişti.

Burada Government Code and Cypher School’da (Hükümet Kod ve Şifre Okulu) Alman ordusunun elindeki Enigma makinesinden çıkan şifreli mesajların çözülmesi için sıkı bir çalışma yürütülüyordu. Ancak bu çaba yeterli değildi, böylesi büyük bir savaşta, düşmanınızın manevralarını önceden kestirebilmek ve gerekli önlemleri alabilmek için çok hızlı şifre çözümü yapılması gerekirken kısa şifrelerin çözümleri bile bazen günler alabiliyordu. Zira bu şifrelerin çözümü manuel, yani insan eliyle yapılıyordu.

Çözüm, Turing’in dehasında saklıydı. Turing, “Kimse bu konuda bir şey yapmıyor, bu tamamen benim işim olabilirdi.” diyerek kolları sıvadı ve başına geçtiği “Hut 8” ekibiyle birlikte Alman deniz kuvvetlerinin şifreli mesajlarını çözmeye girişti. İsmini, bomba adı verilen eski bir Polonya teknolojisinden alan, ancak Turing’in dokunuşuyla daha etkin bir hal alan devasa Bombe tasarımı, Nazilerin çözülemez dediği Enigma makinesinin şifrelerinin deşifre edilmesini sağlayacaktı. Ancak bu süreç oldukça sancılı geçecekti.

Bombe, temel olarak şifreli metinden (krip) bir parça alıyor ve Enigma’nın çark ve dağıtım tablosunun kombinasyonlarından geçiriyordu. Makine, ayrıntılı olarak incelemeye değer kombinasyonları çıkarana kadar çeşitli çelişkiler üretiyor ve daha az olası kombinasyonları kendi kendine eliyordu. Bunu bir insanın yapması günler ve haftalar alabilecekken Bombe bu süreyi gün ve günlere indiriyordu.

Bununla birlikte Turing, Bletchley Park’ta çalıştığı süre boyunca kriptoloji alanında fayda sağlayacak birçok yöntem geliştirmişti. 1942’de geliştirdiği ve Almanların stratejik emirlerini şifreleyen Lorenz şifre makinesinin çarklarındaki dizgiyi elle çözmeye yarayan Turingismus ve dünyanın ilk programlanabilir dijital elektronik bilgisayarı Colossus bunlardan yalnızca ikisiydi.

Alan Turing’in geliştirdiği elektromekanik şifre çözme makinesi Bombe, Almanların şifresi çözülemez dediği Enigma makinelerinin işleyişini çözerek İngiltere’nin Nazi Almanyası karşısında zafer kazanmasını sağlamıştı.

Yapay zekâ çalışmaları

Turing, savaştan sonra da çalışmalarına devam etti. Aklındaki belki de en nefes kesici soru: “Bir makine düşünebilir miydi?” sorusuydu. Makinenin zekâsı olabileceğini düşünüyordu ve “Turing testi” denen bir test hazırladı. Bu teste göre eğer makineler düşünebiliyorsa bir insandan ayırt edilemez olmalıydı. Bu minvalde kafa yoran Turing, devreleri, yönergeleri saklayan ilk bilgisayarlardan olan Manchester Mark 1 ve Pilot ACE (Otomatik Hesaplama Moturu) gibi bilgisayarlar üzerinde çalıştı. (Turing Testi halen başarıya ulaşmış değil. Eğer başarılırsa yapay zekânın zaferi olarak nitelendirilecek. Çalışmalar halen devam ediyor.)

İngiltere’ye katkılarından ötürü 1945’te şövalyelik nişan almasına ve 1951’de Royal Society’ye (Kraliyet Cemiyeti) seçilmesine rağmen, devletin üst kademeleri ve istihbarat yetkilileri hariç kimse onun ne iş yaptığını ve kim olduğunu bilmiyordu. Turing’in eşcinsel olmasının da bunda büyük bir etkisi vardı tabii ki. Zira Turing, eşcinsel olmanın toplum tarafından kabul görmediği ve hatta hukuken yasak olduğu bir dönemde yaşıyordu. Bu sebeple 1952’de bir suçlamaya bile maruz kalmış, homoseksüelliğin bir “hastalık” olduğu düşünülerek hormon tedavisi uygulamasına tabi tutulmuştu. (İngiltere hükümeti, Turing’in gördüğü muamele yüzünden 2009’da resmen özür diledi.)

Zehirli elma

Bu hatalı uygulamalar onun psikoloji üzerinde olumsuz etkiler yapmaya başlamasına rağmen o, bilim merakından ve çalışkanlığından vazgeçmedi. Matematiksel biyolojide, organizmalara biçim veren “morfogenez” kavramı üzerine çalışmalar yürüttü. Bu makaleleri 1992’ye kadar yayımlanmadı.

Çağının çok ötesinde bir deha olan Alan Turing, 8 Haziran 1954’te evinde ölü bulundu. Ölüm nedeni siyanür zehirlenmesiydi ve öldüğünde yanı başında bulunan ısırık elma hiçbir zaman test edilmedi.  Ölüm nedeninin intihar olduğu söylendi. Bir deha olarak değer görmesi ise ancak ölümünden sonra gerçekleşecekti. Bugün bilgisayar biliminin en seçkin ödülü onun ismini alıyor ve daha da değerlisi, her bilgisayar bilimci ve matematikçinin kalbinde yatan aslandır o; Alan Turing…

Not: Başrollerini Benedict Cumberbatch ve Keira Knightley’in paylaştığı 2014 yapımı The Imitation Game filmi hem Enigma’nın şifre çözüm sürecini hem de Turing’in cinsel tercihleri sebebiyle yalnızlaştırılmasını konu ediniyor.

Matematik bilgisayar ile kesin olarak çözülebilir mi?

1936-38 arasında Princeton Üniversitesi’nde Alonzo Church danışmanlığında doktorasını veren Turing, hocasıyla birlikte, fonksiyonların Turing Makinesi kullanılarak hesaplanabileceğini ileri süren bir tezi (Church-Turing tezi) ortaya attı. Bu tez kanıtlanamasa da bilgisayarcılar tarafından genel olarak kabul gördü. Turing Makinesi, günümüzde kullanılan bilgi işlem süreçlerinin hafıza, girdi-çıktı ve programlama özelliklerini öngörüyordu. Turing, herhangi bir matematiksel ifadenin doğru mu yoksa yanlış mı olduğunu belirleyebilecek bir prosedür olmadığını kanıtladı. Sonuç: Matematik kökten çözülemezdi.

Enigma neydi?

1.Dünya Savaşı sırasında şifresiz ya da kırılması kolay şifrelerle Almanları zor durumda bırakan iletişim sisteminin yenilenmeye ihtiyacı vardı. Alman Ordusu, aradığı çözümü 1918’de bulacaktı. Alman mühendis A. Scherbius’un patentini aldığı Enigma, yıllar süren eğitim ve geliştirme çalışmalarının ardından 1928’de faaliyete geçirilerek Nazilere 2. Dünya Savaşı’nın başında büyük bir üstünlük verdi.

İşleyişi: Denizaltılardan demiryollarına binlerce noktada kullanılan Enigma, ilkin güvenli olarak gönderilmesi gereken bir iletiyi şifreliyor. Ardından şifrelenmiş mesaj, alıcısına radyo, telgraf veya kurye tarafından ulaştırılıyor. Alıcı da yine Enigma’yı kullanarak mesajı deşifre ederek kodlanmamış düz metin haline getiriyordu.

Savaş boyunca yüz binden fazla üretilen Enigma, Hitler’in en büyük gücüydü. İngilizler, Enigma şifresini kırmak için 12.000 personel görevlendirdi. Ancak hiçbiri Alan Turing kadar başarılı olamayacaktı.

Yazı: Batuhan Sarıcan (batusarican@gmail.com)

Kaynakça:

Andrew Robinson, Bilim İnsanları: Bir Keşif Destanı. Çev: Y. Türedi, Yapı Kredi Yayınları, İstanbul, 2014, s.270-275

Graham Lawton, Neredeyse Her Şeyin Kökeni. Çev: Y.A. Dalar, Türkiye İş Bankası Kültür Yayınları, İstanbul, 2019, s.218-219

Süleyman Sevinç, Kriptolojinin Dönüm Noktası: Enigma. TÜBİTAK, Ankara, 2012

Nazileri bitiren bilim insanı: Alan Turing yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

Nobelli matematikçi John Nash’in ya da Çetin Altan’ın söylediği “Hukuk insanlığın ortak huzurunu güvence altına almaya dönük, evrensel ilkeler matematiğidir” gibi anlamlı sözlerin ötesinde hukukun, matematiksel analizlerde kullandığı metot ve yöntemler hukuksal yargı ve hakkaniyet için temel unsurlar olarak ortaya çıkar. Her iki bilim dalında da müştereken bulunan; eşitlik, genellik, nesnellik ve tarafsızlık ilkeleriyle hukuk ve matematik bütünsel bir yapı oluşturmaktadır. İdeal bir düzene ulamak hukuk ve matematiğin ortak amacıdır. Yalnızca bu amaca ulaşmak için kullandıkları metotlar farklıdır.

Hukuk

Hukuk birey, toplum ve devletin hareketlerini, birbirleriyle olan ilişkilerini; yetkili organlar tarafından usulüne uygun olarak çıkarılan, kamu gücüyle desteklenen, muhatabına genel olarak nasıl davranması yahut nasıl davranmaması gerektiğini gösteren ve bunun için ilgili bütün olasılıkları yürürlükte olan normlarla düzenleyen normatif bir bilimdir. Hukuk, birey-toplum-devlet ilişkilerinde ortak iyilik ve ortak menfaati gözetir.

Hukuk dönemden döneme değiştiği için hala doyurucu bir tanım yapılamamıştır. Kant “Hukukçular hala hukukun tanımını aramaktadırlar” der. Günümüzde ise en çok kabul edildiği biçimde şöyle tanımlanıyor: “Belirli bir zamanda belirli bir toplumdaki ilişkileri düzenleyen ve uyulması devlet zoruna (müeyyide) bağlanmış kurallar bütünüdür”.

Teknik anlamda ise hukuk; örgütlenmiş bir toplum içinde yaşayan insanların birbirleriyle veya kişilerin yine kendilerinin meydana getirdiği topluluklarla ve bu toplulukların birbirleriyle olan ilişkilerini düzenleyen, kişilerin güvencesini ve insan haklarını sağlamak amacıyla oluşturulan ve devlet gücü ile desteklenen bağlayıcı, genel, soyut ve devamlı kurallar bütünüdür.

Hukuk başlıca iki işlevi yerine getirir:

1. Düzeni sağlar
2. Adaleti tesis eder

Adalet ve düzen birbirinin bütünleyicisi olduğu kadar aynı zamanda ilginç bir biçimde birbirlerine ters orantılı olarak etki eden iki kavramdır. Düzeni hızla sağlamak adaletin eksik kalmasına sebebiyet verebilir. Örneğin bir cinayet davasında, geçmiş çağlarda olduğu gibi çok kısa bir sürede karar verip, suçluyu idam etmek toplumsal düzeni hızla sağlayacak ve hukuk caydırıcı etkisini olabildiğince çabuk bir biçimde gösterecektir. Ama belki de yanlış bir karar verilmiş olacağı için adalet açısından geri dönülmez bir hata yapılmış olacaktır. Tam aksine Adaleti mutlak anlamda yerine getirmeye çalışmak ise, en azından yaşanan zaman kaybı açısından düzenin bozulmasına neden olabilir. Bu nedenledir ki, insanların hukuk sisteminin yavaşlığına ve adaletin gecikmesine olan güven eksikliği modern hukuk sistemlerinin başlıca problemlerinden birisidir.

Hukuk metodolojisi; hukuk normlarının anlamlandırılması yanında objektif değerlendirilmesini sağlayan adil olma sorununa çözümler getirmeyi amaçlayan metotlardır.

Norm, matematiğin temel kavramlarında biri olduğu gibi hukuk terimi olarak norm:  Kural olarak benimsenmiş, yerleşmiş ilke ya da yasaya uygun durumdur.

Hukuktaki norm taşıyıcılarının ve norm tasarımlarının değerlendirilmesi için; soyut adalet fikrinden, somut adalet fikrine ve davranışsal yöntemlere geçmek gerekir. Düzen, tasarım ve adalet arasındaki ilişkiyi kavrarken, üst adalet prensibini ve hukukun üstünlüğünü nasıl gerçekleştirebiliriz sorusu ortaya çıkar. Bu bağlamda argümanların yeniden tasarlanması gerekir. Hukuk metodu değişen ortam içinde bir araç olarak değerlendirilebilir.

Matematik

“Evreni anlamak istiyorsanız önce onun yazıldığı dili öğrenmelisiniz. Evren matematik dili ile yazılmıştır” diyen Galileo’dan,  hatta daha gerilere giderek, “Bir bilim matematiksel olduğu ölçüde yetkindir” diyen Leonardo da Vinci’den, günümüze değin,  matematiğin doğa bilimleri için etkili bir anlatım dili, vazgeçilmez bir çıkarım aracı ve zengin bir modeller kaynağı olduğu bilinmektedir.

Matematiğin, özellikle fizik bilimlerinde göze en çok çarpan işlevi; uygun bir dil, bir anlatım aracı olmasıdır. Bir dil olarak matematik, etkinliğini özel simgelere; doğa yasalarını kısa, açık ve kesin dile getiren formül ve denklemlerine borçludur. Günlük dil tüm kelime ve nüans zenginliğine karşın, bilimde aranan açık, seçik ve yalın anlatımı sağlamaktan uzak düşmekte; üstelik, sözcüklerin anlam belirsizliği veya çok anlamlılığından kaynaklanan birtakım iletişim zorluklarına yol açmaktadır. Oysa bir tür yapma dil sayabileceğimiz matematik, anlamları ve kullanış biçimleri belli ve sınırlı olan simgeler kullandığından, güvenilir bir ifade ve iletişim kolaylığı sağlamaktadır.

Kısacası “Matematik, nesnel gerçeklikten (yani, aksiyomlar ya da aksiyomlar yardımıyla ispatlanmış teoremlerden) hareketle gene nesnel gerçekliği anlamak, onu biçimlendirmek için soyutlanan kavramlar ve bu kavramlar arasındaki ilişkilerdir.” Bu tanım günlük hayattaki uğraşlarımız, resim ya da müzik yapmak, tartışmaya girmek, genel olarak bilim ve teknoloji için geçerlidir. Bu nedenle, matematik, sanatta, edebiyatta, hukukta yani, yaşamın her alanında kullanılan yöntemlerin bir sistematiğidir. Çünkü günlük hayatta “kural dışı” olmasına karşın, matematikte “kural dışı” yoktur.

Hukuk – Matematik

Hukukla ilgili uygulamalara; matematiksel bir araç arayışı ile uzaktan, göz gezdirildiğinde birçok matematiksel kavram göze çarpar. Göz, ilk önce eşitlik ilkesiyle karşılaşır; eşitlik ilkesinden ayrılamadan illiyet bağına takılır. İlliyet bağı olmadan, sebep sonuç ilişkisi belirlenmez ve hukuk sistemi kurulamaz. Öte yandan hakkaniyet ilkesi, ferdi hukukun özü olarak; doğrudan eşitliğin, bireye vakfedilmiş halidir. Göz, biraz daha öteye gittiğinde; ekonomik hukuk düzeninin matematiksel ilişkiler ağına takılır.

Matematiksel hukukun bir yanı; doğrudan dört işlem faaliyetleriyle matematik ve istatistiğe dayanırken, hukukun talep ve dava şekilleri doğrudan matematiksel mantık ve bakış gerektirir.

Hukuk eğitiminde matematik dersleri olmalıdır ve burada matematiği anlamak için; öncelikle hukuk matematik ilişkisini irdelemek gerekmektedir. Adaletin özü olan, eşitlik kavramı ve bu kavram üzerine temellenen hukuk düşüncesi ve hukuk sistemi; bu bağlamda doğrudan matematiksel düşünce ve mantığa dayanmaktadır. Hukuksal dünyamızdaki bu matematiksel kavrayış sorumluluğu,  hukuk eğitiminde matematiğin; ne kadar yaşamsal bir öneme sahip olduğunu ortaya koyarken, bizlere aynı zamanda hukuk ve matematik sistemlerinin ne kadar birbirine benzer şekilde oluşturulduğunu da gösterir. Hukuk ve matematik, insanoğlunun mükemmellik arayışının kurgusal bir sonucu olarak ortaya çıkmıştır. 

Hukuk ve matematik arasında kurulan ilişki bağlamında her şeyden önce tarafların ortaklaşa işlem ve uygulama yapmaları gerektiğini anlamaları önemlidir. Hukuk ve matematik birlikteliğinin, daha çok hukukun matematiğe olan bağımlılığından kaynaklanan karmaşık ve zorlayıcı karakteri; aynı zamanda hukuk ve matematik arasındaki ilişkiyi de meşrulaştırmaktadır. Hukuk ile matematik arasında; matematiğin, teknik hukuk alanının en temel aracı olmasından kaynaklanan, organik bir bütünlük vardır. Matematiğin araç olarak kullanımı, özellikle hukukun teknik yönü için vazgeçilmez önemdedir.

Erhan Güzel, İKU

Kaynaklar

1. G. Bakır, E.Apaydın “Hukuk Eğitimi ve Matematik” 2. International Conference on New Trends in Education and Their Implications 27-29 April, 2011 Antalya
2. http://www.wikizero.biz/index.php?q=aHR0cHM6Ly90ci53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvSHVrdWs

Hukuk ve matematik yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

İlk İslam filozofu ve Meşşai okulunun kurucusu olarak bilinen Yakub bin İshak el-Kindi, soylu bir ailenin çocuğu olarak Küfe’de tahminen 866 yılında doğdu. Bağdat’ta kimlerden tahsil gördüğü bilinmiyorsa da kısa zamanda Halife Me’mun’un takdirini kazanmış, saraydaki dini, ilmi, felsefi ve edebi toplantılara katılarak bilim ve felsefe alanlarındaki başarısını ve yetkinliğini kanıtladığı gibi Me’mun’un 830 yılında kurduğu Beyt ül-Hikme’deki bilgin ve mütercimler kadrosu içinde yer almayı başarmıştı.

Abbasi halifelerinden dokuz tanesinin döneminde yaşayan Kindi, özellikle Me’mun, Mu’tasım-Billah ve Vasi-Billah’tan yakın ilgi ve destek gördü. Adları geçen üç halife Mu’tezile mezhebini devletin resmi görüşü sayarken, daha sonra Mütevekkil-Alellah, ehl-i sünnet yanlısı bir politika izlemiş ve bu sırada Kindi gözden düşerek hayatının son yirmi yılını saraydan uzak, belki de münzevi olarak geçirmek zorunda kalmıştır.

Bu durum, onun Mu’tezile’den sayılmasından değil, bu mezhep mensupları gibi, akla öncelik tanıyan, ilk defa İslam toplumunda felsefe diye bir bilgi ve düşünce türünün temsilcisi olmasından kaynaklanıyordu.

“Dini ticareti yapıyorlar”

Kelam ilminin Mu’tezile elinde bağımsız bir ilim olarak şekillenmesi döneminde yaşamış olan Kindi’nin Basra’da bulunduğu sırada, mezhebin Basra kolundan büyük ölçüde yararlandığı ve diyalektik alanındaki ilk zihinsel disiplinini burada kazandığı düşünülmektedir (Kelâm ilmi, Allah’ın zât ve sıfatlarından, Peygamberlik ve onunla ilgili meselelerden, evrenin yaratılışıyla ilgili konulardan İslâmî hükümler çerçevesinde bahseden bilimdir. Bunu Felsefe bilimiyle karıştırmamak gerekir. Çünkü kelâm ilminde asıl kaynak İslâm’ın kesin ve açık hükümleri olmaktadır. Kelâm ilmine Tevhid, Akâid veya Fıkh-ı Ekber de denir).

Çeşitli çevrelerin baskı ve eleştirisine maruz kaldığı, Beni Musa diye tanınan ve dönemin büyük matematikçi ve astronomu olan Muhammed ve Ahmed adlı kardeşlerin düzenledikleri komplo sonucunda çok zengin olan özel kütüphanesine el konduğu, onların oyununu bozarak tekrar kütüphanesine kavuştuğu bilinmektedir.

Filozof, Halife Mu’tasım-Billah’a takdim ettiği Kitâb fi’l-felsefeti’l-ulâ adlı eserinin giriş kısmında bazı çevrelerin baskısından yakınıp, “Zamanımızın düşünürü olarak tanındıkları halde gerçekten uzak olanların yanlış yorumlamalarından çekindiğimiz için karmaşık noktaları uzun uzadıya tahlil yerine kısa kesmek zorunda kaldık” dedikten sonra, o çevreleri din ticareti yapmakla suçlar ve “Bir şeyin ticaretini yapan onu satar, sattığı ise artık kendisinin değildir” öncül önermesinden hareketle, “Kim din ticareti yaparsa onun dini yoktur“ yargısına ulaşır ki, mantık bakımından olduğu kadar din ve ahlak açısından da doğrudur.

Kelam’dan felsefeye geçişi sağladı

İslam toplumunda nakli ve akli ilimlerin sistemleştirildiği, yabancı milletlere ait bilim, düşünce ve kültür ürünlerinden Arapçaya yapılan tercümelerin Beyt ül-Hikme’de en verimli bir düzeye ulaştığı, kelam ve felsefe alanındaki spekülasyonların alabildiğine yoğunlaştığı, çeşitli din ve mezhepler arasındaki mücadelelerin kıyasıya devam ettiği 9. yüzyılda yaşayan Kindi, bu alanlardaki çalışma ve tartışmalara en üst düzeyde katılan ve uyguladığı yöntem, kullandığı terminolojiyle kelamdan felsefeye geçişi sağlayan ilk İslam filozofudur.

Kindi, ilimleri dini ve insani diye ikiye ayırır. Dini ilimlerin kaynağı vahiydir. Vahiy, istek ve iradeye gerek kalmadan, çaba harcamadan, mantık ve matematik yöntemlerine başvurmadan Allah’ın peygamberlerin temiz ruhlarını aydınlatmasıyla oluşan bilgidir. Duyu ve akıl gücüyle elde edilemeyen, insanların benzerini ortaya koyamadıkları vahiy bilgisi insan fıtratına uygun olduğundan akıl onu kabul etmek durumundadır. Matematik ise başlıca aritmetik, geometri, astronomi ve müzik şeklinde dört disiplini içermektedir.

Matematik insanı başarıya götürür

Yöntem olarak genellikle mantık ve matematiği kullanan Kindi, her konuda insanı başarıya götüren bilimin matematik olduğunu ısrarla vurgular; felsefe öğrenimi için matematiği ön şart sayar. Kindi’ye göre matematik bilimlerini bilmeyen kimse, ömür boyu felsefe okursa da anlayamaz, sadece yazılanları tekrarlamış olur. Matematik bilgisinden yoksun olanların kendi eserlerinin özüne vakıf olamayacağını ifade eden Kindi’nin ortaya koyduğu esaslar daha sonra Farabi, İbn Sina, Safiyüddin Urmevi ve Abdülkadir Meragi için önemli hareket noktaları olmuştur.

Kindi felsefeyi akli, ruhi ve ahlaki etkinlikler alanında insanı disiplin altına alıp olgunlaştıran bir bilgi dalı olarak görmektedir.

Bilim tarihinde de Kindi’nin öncülüğü tartışılmaz. Tercümeler yoluyla Grek, Hint ve Fars bilim ve düşünce ürünlerini miras almıştır. İlahiyat ve edebiyat yanında teorik ve pratik bilgi dallarının hepsiyle ilgilenen, felsefeden tıbba, matematikten astronomiye, optikten meteorolojiye, psikolojiden ahlaka, kimyadan müziğe varıncaya kadar her alanda eser vererek sonraki nesillere zengin bir bilim ve felsefe literatürü armağan eden ansiklopedik bir filozoftur.

O güne kadar Süryani bilgin ve mütercimler eliyle temsil edilen bilim ve felsefe Kindi’nin çalışmaları sayesinde el değiştirmiş, sayıları 277’yi bulan külliyatı yabancı kültürler karşısında İslam toplumu için önemli bir moral güç oluşturmuştur.

Kindi’nin optik (ilm ül-menazir) alanındaki çalışmaları da ayrı bir önem taşımaktadır. Işığın yayılma ve yansıması ile yakan, yanan aynalar ve bunların yapımını konu alan eserleriyle bu alanın ilki sayılmaktadır. Atmosferde meydana gelen olayları yorumlamak üzere ortaya koyduğu özgün sayılabilecek görüşleriyle meteoroloji bilimine önemli katkıda bulunmuştur.

Klasik kaynaklar ondan şu şekilde söz eder: “Kindi, eski bilimlerin tamamını kuşatan, çağının biricik bilgini, soylu bir Arap filozofudur. Bilimin derinliklerine dalan, akli ilimlerle şeriatı uzlaştıran ve birçok eseri olan bir matematikçidir”.

Prof. Dr. Kadircan Keskinbora / BAU Tıp Fakültesi

KAYNAKLAR

• Al-Kindi: The Father Of Arab Philosophy. New York: The Rosen Publishing Group, Inc., 2006.
• Ya’kub b. İshak el-Kindi. Türkiye Diyanet Vakfı İslam Ansiklopedisi. Ankara: TDV Yayınları, 2002, 26. Cilt, s.41-59.

Yakup bin İshak el-Kindi kimdir? yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.

Daha çocukluğunda matematik bilmeceleri ve şifreleme sistemleri ile ilgilenen Shannon, üniversite öğrenimini Michigan üniversitesi ile meşhur Massachusetts Institute of Technology (MIT)’de yaptı ve hem matematik hem elektrik mühendisliği öğrenimi gördü. Shannon, 1938 yılında, 22 yaşında iken verdiği master tezinde, İngiliz matematikçi George Boole’un 1800’lerin ortalarında bulduğu ve kendi adıyla anılan Boole Cebrini (Boolean Algebra) elektrik devrelerinin (örneğin telefon santrallarının) tasarımına uyguladı.

Yüzyılın en önemli master tezi

Mantığın matematiksel ifadesi olarak da anılan Boole Cebrinin bu uygulaması ise sayısal (digital) elektronik devrelerin tasarımını matematiksel bir temele oturtarak günümüzdeki bilişim teknolojilerinin yolunu açtı. Bu nedenle Shannon’un tezi, 20’inci yüzyılın en önemli master tezi olarak bilinir. Birçok önemli buluşta olduğu gibi, insanlık bu büyük gelişmeyi de Claude Shannon’un hem mühendislik hem matematik okumasına, yani disiplinler arası (inter-disciplinary) bağlantıları kurabilmesine borçludu

1940’da, Shannon yine MIT’de, ‘Genlerin aktarımının matematiği’ adlı tezi ile doktora derecesini aldı ve ünlü Bell Laboratuarlarında çalışmaya başladı. İkinci dünya savaşı sırasında Shannon, Bell’de sayısal şifreleme (encryption) sistemleri geliştiren grubun içerisinde idi. Bu grubun geliştirdiği uygulamalar arasında Churchill ve Roosevelt’in okyanus aşırı konuşmalarında kullandıkları yüksek güvenlikli sistem de vardı.

Başyapıtı: Enformasyon Teorisi

Shannon bu çalışmaları sırasında başyapıtı Enformasyon Teorisini geliştirmeye başladı. Düşüncesinin çıkış noktası, şifrelemede kullanılan sayısal kodlar enformasyonu istenmeyen gözlerden saklayabiliyor ise, neden iletişim hatlarındaki parazitler, girişimler (interferences) ve diğer bozucu etkilerden de korumasınlar, idi. Bu da, işlenecek ya da iletilecek enformasyona, tekrarlayıcı bilgi (redundancy) ekleyerek mümkün olabilirdi.

Söz konusu kodlar (şifreleme sistemleri, algoritmaları), ayrıca, enformasyonu, örneğin gereksiz tekrarları önleyerek, sıkıştırarak, daha yoğun, daha kompakt bir biçimde iletebilir ve belirli bir iletişim kanalının (bir kablonun, bir radyo dalgasının) daha çok enformasyon taşımasını sağlayabilirlerdi.

“Temel birim bit’tir”

Shannon, 1948 yılında, devrim yaratan, ‘İletişimin Matematiksel bir Kuramı’ adlı makalesi ile Enformasyon Teorisini yayınladı. Kuram öncelikle enformasyonun ölçülebilir bir büyüklük olduğunu kanıtlıyor ve temel birimini ‘bit’ olarak tanımlıyordu.

Bir ‘bit’ belirli bir anda ancak iki değerden birini (örneğin 0 ya da 1 değerini) alabiliyordu. Yeterli sayıda ‘bit’ kullanılarak her türlü enformasyon (sayı, harf, ses, görüntü..) temsil edebiliyordu. Kuramda, iletişim sırasında bozulmaya uğrayabilen enformasyonun, alındığı noktada düzeltilmesi için, hata düzeltici (error correction) kodların kullanımı da tanımlanıyordu. Günümüzdeki tüm sayısal iletişim teknolojileri; uydu iletişimleri, cep telefonu şebekeleri, internet, hepsi, Shannon’un enformasyon teorisine dayanarak geliştirilmişlerdir!

Bir bilgi sisteminin toplam enformasyon potansiyeline, Shannon, o sistemin ‘entropisi’ adını vermişti. Termodinamikten alınan bu terimi ise kendisine büyük matematikçi ve bilişim kuramcısı John Von Neumann ısrarla önermiş ve ‘Entropinin ne olduğunu kimseler anlamaz, böylece sen de enformasyon kuramını anlatırken, hem ne kadar derinmiş (!) diye düşünürler, hem de söyleyecek pek birşey bulamazlar’ demiştir.

Zamanın çok ilerisinde

Shannon’un fikirleri zamanının o kadar ilerisinde idi ki, 1970’li yıllarda hızlı entegre devrelerin bulunmasına kadar mühendisler enformasyon kuramından yeterince yararlanamadılar.

Günümüzde ise kompakt disklerden süper bilgisayarlara, internetten uzay araçlarına kadar, sayısal bilgiyi saklayan, işleyen ve ileten tüm sistemlerin temelleri Shannon’un enformasyon kuramına dayanmaktadır.

Bazı uzmanlar, Claude Shannon’un enformasyon’a etkisini, alfabenin mucidinin edebiyata etkisine benzetecek kadar önemli bulmaktadırlar.

1985 yılında, çok çekingen bir insan olan, 69 yaşındaki, bembeyaz saçlı Shannon’un, İngiltere Brighton’daki Enformasyon Teorisi Sempozyumuna beklenmedik bir biçimde katıldığı öğrenildiğinde herkes ne yapacağını şaşırır, imzasını alabilmek için kuyruklar oluştururlar. Kongre başkanı, durumu anlatmak için, ‘Sanki bir fizik kongresine Isaac Newton gelmiş gibi idi!’ der.

Özetle, yaşamımızın hemen her alanını kaplayan sayısal devrimi ve dijital dünyayı Claude Shannon, Alan Turing, John Von Neuman gibi kuramcıların çığır açıcı çalışmalarına borçluyuz. Bu temellerden hareketle bilgi ve iletişim sistemlerini tasarlayan, üreten ve uygulayan mühendisleri ve bilim insanlarını da selamlıyoruz.

Erdal Musoğlu / emusoglu@gmail.com

Kaynaklar:

http://spectrum.ieee.org/computing/software/claude-shannon-tinkerer-prankster-and-father-of-information-theory

http://spectrum.ieee.org/tech-talk/telecom/internet/bell-labs-looks-at-claude-shannon-legacy-future-of-information-age

https://en.wikipedia.org/wiki/Information_theory

Claude Shannon: Sayısal devrimi başlatan mühendis yazısı ilk önce Herkese Bilim Teknoloji üzerinde ortaya çıktı.