Kolay görüldüğüne aldanmamalı

“Önemli problemler, o problemleri yaratmış olduğumuz sıradaki düşünce düzeyimizle çözülemez.” A. Einstein

Günümüzden yaklaşık 2300 yıl önce MÖ 330 – 275 yıllarında yaşamış, İskenderiyeli matematikçi Euclid, M.Ö. 300 yılı dolaylarında yazdığı “Elements” adli kitabında yer alan şu iddiayı ortaya atıyor “Sonsuz tane asal sayı vardır”.

“Yalnız bir ve kendisi ile bölünebilen birden büyük doğal sayılar asal sayıdır” tanımı dikkate alındığında iddianın basit ve kolay anlaşılabilir olması yanında ispatı da basit ve kolaydır.

Matematikle ilgilenmeyenleri göz ardı edersek, ilgilenenlerin ya da ilgilenmiş olanların çoğu 2300 yıl önce ortaya atılmış bu iddiayı “hadi ispat et” denildiğinde ispat edemeyebilir.

Örneğin 2, 3, 5, 11, 13, … ,1453, … ,2239, … ,47933, … sayıları birer asal sayıdır. Son haberlere göre uzunluğu 17, 425, 170 basamak olan sayı, 2008’de keşfedilen ve 12.978.189 basamak uzunluğundaki asal sayının rekorunu da kırmış oldu. Gelecekte çok daha büyük asal sayı elde etmek mümkün olacaktır elbette, ancak önemli olan asal sayılarla ilgili iddianın ispat edilmiş olmasıdır. (İspat için bkz. CBT 23 05 2014, Sayı 1418, Sayfa 13)

Yukarıda verilene benzer iddiaların ispatlarının aksine, yaratıcılık isteyen soruların ortaya konuş biçimleri çoğu zaman kolay anlaşılır değildir. Ancak bilinen yöntemlerle çözülememesine, yaratıcılık istemesine rağmen, hemen herkesin kolayca anlayabildiği problemlerde var. Asal sayılarla başladığımıza göre asal sayılara ilişkin örneklerle devam edelim. Asal sayılara ilişkin pek çok bilgi henüz gün ışığına çıkmamıştır. Ayrıca, ortaya atılmış ama ispatlanmamış pek çok da sanı var. İşte bunlardan birkaçı:

n bir doğal sayı olmak üzere n² ve (n+1)² arasında daima bir asal sayı var mıdır?

Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi?

(n+1)² formunda yazılabilen sonsuz tane asal var mıdır?

İkiz asallar: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), … biçimindeki asal sayılar, yani aralarındaki fark 2 olan asallar sonsuz tane midir?

Fermat Asalları: 17. yüzyılda amatör matematikçi unvanı ile bilinen Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu katkılar arasında doğru olduğunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler de vardı. Örneğin + 1 biçimindeki sayıların her n doğal sayısı için bir asal verdiğini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal olanlara da Fermat asalları denir. Gerçekten de 5’e kadar tüm doğal sayılar için asal değer veren ifadenin yanlış olduğu ancak 100 yıldan fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 232 + 1 = 4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu. Bugün ispatı yapılması beklenen önermelerden bir diğeriyse “Fermat asalları sonlu tanedir” kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse şimdiye kadar sadece 5 tane Fermat asalının bulunmasıdır.

Mersenne Asalları: Fermat’ın sıkça fikir alışverişinde bulunduğu çağdaşı Mersenne, 2n – 1 şeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu. Mersenne sayıları (Mn) adı verilen bu sayıların başlangıçta n asal olduğunda asal değer verdiği düşünüldü. Gerçekten de n=11’e kadar doğru çalışan fikir 11’de asal olmayan bir değer alınca bu düşüncenin de yanlış olduğu anlaşılabildi ama 2n – 1’in asal olması için n’nin asal olması gerektiği şartı doğrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların peşini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu.

Mükemmel Sayı Sorusu: Mükemmel sayı, kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının var olup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız.

Palindromik Sayılar: Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır: 1881, 1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928, …

Bu alandaki açık soru ise şöyle: Hem asal hem de palindromik olan sonsuz tane asal sayı bulunabilir mi?

Asal sayılarla ilgili olup çok daha kolay görülen fakat henüz çözülememiş çok daha zor bir iddia:

Goldbach Sanısı: Alman matematikçi Christian Goldbach 1742’de Euler’e yazdığı bir mektupta “2’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir” önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istemiştir. İstediğiniz kadar deneyebilirsiniz, örneğin 8=5+3, 26=23+2 , … gibi. Ancak, bu iddianın ispatı için şimdiye kadar kullanılan ve bilinen bütün yöntemler yetersiz kalmıştır.

Asal sayılarla doğrudan ilişkisi olamayan örnekler de var:

Fermat’nın Son Teoremi: 17. yüzyılda ortaya atılan problemin ifadesi ortaokul matematik bilgileriyle anlaşılacak kadar yalındır: “eğer n ikiden büyük bir tam sayıysa ve x, y, z sayıları pozitif tam sayılar ise eşitliği sağlanamaz.”

Eşitlikle ilgili elimizde sonsuz tane denklem var, deniyoruz ama bir türlü ifadeyi sağlayan (x,y,z) üçlüsü bulamıyoruz. Ancak, ”öyleyse gerçekten Fermat doğru söylüyor” deyip son noktayı koyamıyoruz. Bu çözümsüzlüğün ispatlanması gerekir. Tarihsel sıralamada önce belli değerler; n=3,4,5 … için ifadenin doğruluğu ispatlandı. İspatın her doğal sayı için doğruluğu ancak Fermat’ın ölümünden 328 yıl sonra, 1993’te İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından yapılabildi.

Catalan Problemi: 8 ve 9 ardışık tam sayılardır ve her biri farklı iki sayının kuvvetleridir, yani 8=2³ ve 9=3³. Belçikalı matematikçi Eugene Charles Catalan 1844 yılında “0 ve 1’den farklı tam sayıların olası tüm kuvvetleri içinde, ardışık olan yeğene iki sayı 8 ve 9’dur” iddiasını ortaya atmıştır. Başka bir deyişle 8 ve 9’dan başka kuvvetlerinin sonucu ardışık olan iki tam sayı daha bulamazsınız. Bu iddia matematikçileri 150 yıldan fazla uğraştırdı ve iddianın doğruluğu ancak 2002 yılında Romen matematikçi Preda Mihailescu tarafından kanıtlandı.

Prof. Dr. Erhan Güzel / İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik – Bilgisayar Bölüm Başkanı ve Rektör Yardımcısı / erhan.guzel@iku.edu.tr

Kaynaklar: Mario Livio,”Tanrı Matematikçi mi?”, Altın Kitaplar / Bilim Dizisi, İstanbul, 2015
http://www.biltek.tubitak.gov.tr