Einstein’ın deyişi ile: Nasıl oluyor ki, insan aklının bir ürünü ve onun deneyimlerinden bağımsız olan matematik, böylesine hayranlık verici bir biçimde gerçek dünyanın cisimlerine uygulanabiliyor?
HBT'deki ‘Matematiğin doğuşunun eğlenceli öyküsü’ konulu yazımızı aşağıdaki paragraflarla bitirmiştik:
Matematik disiplini, uzun süredir şu felsefi ve ontolojik soru ile karşı karşıyadır: Matematik, bizim aklımızın oluşturduğu, dünyayı ve evreni anlamamızı kolaylaştıran bir araç, bir çeşit model oluşturma dili midir? Yoksa, matematik, evrenin yapısının ayrılmaz bir parçası, bizim onu bulmamızı, yaratmamızı değil de keşfetmemizi bekleyen bir özelliği midir? Değilse, matematiğin bilimin tüm dallarına uygulanabilmesini ve fiziksel dünyamızı böylesine doğru betimlemesini nasıl açıklayacağız?
Ya da, Einstein’ın deyişi ile: Nasıl oluyor ki, insan aklının bir ürünü ve onun deneyimlerinden bağımsız olan matematik, böylesine hayranlık verici bir biçimde gerçek dünyanın cisimlerine uygulanabiliyor?
Bu ‘derin’ konuyu da bu yazımızda ele alıyoruz.
Yukarıdaki soruların cevabı, doğayı ve evreni anlamamızı sağlayan mantık ve gerçeklik gibi temel kavramları bile sorgulatabilecek sonuçlara yol açabilir. Bu nedenle gerek matematikçiler gerek filozoflar yüz yıllardır konuyu tartışageldiler ve matematiği doğanın bir parçası ya da insan aklının bir ürünü olarak görenler diye ikiye ayrıldılar. Günümüzdeki tüm bilimsel ve teknik gelişmelere rağmen bu konuda kesin bir sonuca varılmış değildir. Bu nedenle yazımız her iki görüşün de varsayım ve çözümlemelerine odaklanacak.
1. Matematik evrenin dilidir
“Felsefe, Evren adlı o büyük ve bizlerin gözlemimize açık kitapta yazılıdır. Ama o kitabı anlayabilmek için önce onun dilini ve alfabesini öğrenmek gereklidir. O dil de matematiktir. Matematiğin harfleri olan üçgenler, daireler ve diğer geometrik şekilleri bilmeden de onun bir kelimesini anlamak bile olanaksızdır.”
Bu cümleler Galieo Galilei’nin 1623 yılında yazdığı ‘Il Saggiatore’ (Deneyci) adlı kitabının girişinden alınmıştır. Bu görüşe göre, evrenin tüm özellikleri onun bir parçası olan matematiğin denklemleri ile ifade edilmiştir, matematiğin insan aklından bağımsız bir varlığı mevcuttur ve insanlara kalan bu kavramları ve denklemleri keşfetmektir. Öte yandan, bu önerge kanıtlanamadığından bir bilimsel gerçek değil bir inanç konusu olmaktadır. Bu görüşün birçok savunucusu da, bunu, evrenin önceden tasarlanmış bir yapısı olduğunun yani Tanrı’nın varlığının kanıtı olarak ileri sürmektedir.
Bu görüş sahipleri, iki kere iki hep dört eder, elma yere hep 9.81 m/s2 ivme ile düşer, insanlara da bunları keşfetmek kalır demektedirler. Matematiğin, evreni çok doğru ve duyarlı biçimde modellemesi ve açıklaması, en önde gelen bilim insanlarını bile onun evrenin ayrılmaz bir parçası olduğu görüşüne yöneltmiştir.
Matematiğin doğanın bir parçası olduğu savının en popüler biçimi Platonizmdir. Plato’nun bu metafizik duruşu, matematiğin öğelerinin soyut oldukları, uzay ve zamanla ilgili ya da neden-sonuç özellikleri olmadığı, ebedi ve değişmez oldukları biçimindedir. Plato dünyanın (evrenin) üç düzlemi olduğunu, bunların da fiziksel, düşünce ve his, sayılar ve mantık düzlemleri olduğunu öne sürmüştür. Binlerce yıl öncesinden gelen bu düşünceler ve kavramlar günümüzün bile filozofları etkilemeyi sürdürmektedir.
Cumhuriyet (Republic) adlı eserinde, Plato, matematiğin gizemli doğasını ‘Mağara benzetmesi’ (Allegory of the cave) ile resmetmektedir. Bir grup mahkum yaşamlarını bir mağaranın duvarlarına zincirlenmiş ve yüzleri hep o duvarlara dönük olarak geçirmektedir. Mağaranın ortasında bir ateş yanmakta ve mahkumlar olup bitenleri ancak duvardaki gölgeler ile izleyebilmektedirler. Mahkumlar için gerçek o gölgelerdir, dünyayı yalnız onlar aracılığı ile algılayabilmektedirler. İnsanlar da, evrenin değişmez gerçeklerinin ancak bir kesitini, benzer biçimde, algılayabilirler.
2. Matematik insan zekasının bir ürünüdür
Bu görüşe göre matematik, biz insanların, gözlemlediğimiz gerçeklerin modellerini yaratmamızın aracıdır. Bu modeller sayesinde öngörülerde bulunabilir ve gerçeği daha üst bir derecede algılayabiliriz. Birçok bilim ve düşünce insanı bu görüşü savunmuş ve savunmaktadır. İmmanuel Kant, geometrinin uzayın soyutlaması, sayıların da zamanın soyutlaması olduğunu savunmuştur. Fizikçi ve filozof Ernst Mach ise matematiğin yalnızca bir hesaplama yöntemi olduğunu ve kimsenin doğanın matematiksel modellerinin güvenilirliği konusunda bir öneride bulunamayacağı görüşündedir. Hareket noktası da, matematiğin evrenin içeriğinin tam ve doğru bir çevirisi olmadığıdır.
Bizler, doğayı gözlemleyerek veri toplar ve onlardan hareketle, kendi yarattığımız bir dil olan matematik yardımı ile, teoriler ve denklemler oluştururuz. Matematiğin kuralları da doğa yasalarından kaynaklanmaz. Onları, doğanın davranışını en iyi yorumlayacak biçimde bizler belirleriz. Bütün bunları matematikten daha iyi yapacak bir araç bulunursa da onu kullanırız!
Matematiğin insan zekasının bir ürünü olduğu görüşünün en yaygın türü ‘biçimcilik’tir (formalizm - formalism). Formalizm’e göre, tüm matematik, doğru oldukları kabul edilen temel önermelerden (axioms) hareketle türetilebilir. Doğrulukları kanıtlanamayan ama öyle kabul edilen bu temel önermeler keşfedilmezler, yalnızca varsayılırlar. Teoremler de bu temel önermelerden yol çıkarak yaratılırlar.
Nobel’li Eugene Wigner ‘Doğa bilimlerinde matematiğin akıl almaz etkinliği’ (The unreasonable effectiveness of mathematics in natural sciences) başlıklı makalesinde ‘Matematiğin dilinin fizik yasalarının ifade edilmesine böylesine mucizevi biçimde uygun olması, bizlerin ne anlayabildiğimiz ne de hak ettiğimiz harika bir hediyedir!’ demektedir.
Wigner, tamamen soyut biçimde geliştirilen matematik kuram ve denklemlerinin sonradan doğaya uygulanabilmeleri, fizikteki gelişmeler için yaşamsal önemde olmaları ve evrenin nasıl çalışmakta olduğunu açıklamalarına özellikle ilgi duydu. Bunun en etkileyici örneklerinden biri, tavşan popülasyonlarının gelişimini incelemek için geliştirilen Fibonacci dizisidir. Bu dizinin, daha sonra, doğadaki biyolojik oluşumlara, deniz kabuklarından, çiçeklere ve ciğerlerin bronşlarına kadar pek çok yapıya uygulanabildiği anlaşılmıştır. Aynı biçimde, düğümleri yani kendi üzerine kapanan üç boyutlu eğrileri inceleyen ‘Düğüm Kuramı’ (Knot Theory), bulunuşundan 300 yıl sonra, DNA’nın katlanıp açılmasının topolojik yapısının belirlenmesinde başarı ile kullanılmaktadır.
Örneklere devam edersek:
- Kuantum mekaniği matematiğinin denklemleri son derece karmaşık ve anlaşılmaları imkansız derecede güçtür, yine de bu denklemler atom ölçeğindeki evrenin en doğru ve tutarlı tasvirini (betimlemesini) yaparlar. Tranzistorlar, lazerler ve bilgisayarlar bu denklemler sayesinde bulunmuştur.
- Birçok matematiksel yapılar bilimde kullanılmalarından çok önce geliştirilmiştir. Örneğin antimadde (antimatter) yalnızca matematik yoluyla bulunmuş ve başlangıçta doğada varlığının olanaksız olduğu düşünülmüştür. Daha sonra yürütülen deneyler ise, örneğin elektronun antimaddesi olan pozitronun ve diğer antimadde türlerinin varlığını kanıtlamıştır. Günümüzde, pozitron, tıpta PET (Pozitron Emisyonlu Tomografi) cihazlarında kullanılmaktadır.
- 1850'lerde matematikçi Berhard Riemann, Euclid’in düzlem geometrisi yerine küre ya da at eyeri gibi eğrilerden oluşan bir uzayın geometrisini geliştirdi. 1915 yılında ise Albert Einstein genel görelilik kuramını geliştirirken tam da bu geometriye gerek duydu!
Sonuç ve düşünceler
Eğer matematik doğanın bir parçası ise onun soyut kavramları ve kuralları doğada nasıl bir biçimde bulunmakta ve zekamız onları nasıl keşfetmekte, onlara ne yollarla ulaşabilmektedir? Eğer matematik tamamen soyut insan zekasının bir ürünü, bir buluşu ise nasıl oluyor da doğayı, sonsuz küçükten sonsuz büyüğe kadar, böylesine doğru ve hassas betimleyebilmekte ve açıklayabilmekte?
Buluş ve keşif sözcüklerinin anlamları arasındaki bu karşıtlık aslında onların kökeninden kaynaklanmakta. İşin içinde insan varsa buluş, yoksa keşif diyoruz. Ama bizler de doğanın bir parçası olduğumuza göre evren matematiği bizler aracılığı ile ‘keşfetmiş’ olmuyor mu? ...
Görüldüğü gibi bu temel sorular günümüzde de yanıtsız kalmakta. Günün birinde zeki uzaylılar ile karşılaştığımızda onların matematiği de bizimki ile aynı ise ne düşüneceğiz acaba?...
Kaynaklar:
https://www.kpbs.org/nova/article/great-math-mystery/
https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html