Dr. Öğr. Üyesi Veli AKARSU, Zonguldak Bülent Ecevit Üniversitesi, ZMYO, Mimarlık ve Şehir Planlama Bölümü, Kilimli / Zonguldak / [email protected]
(Prof. Dr. Doğan KUBAN Hocaya, Sevgi ve Saygıyla İthaf Olunur)
Doğan Hoca, sevgi pınarı, bilgelik çağlayanı, büyük aydınlatıcı ve hümanist koca bir çınardır. Cehalete karşı bıkmadan usanmadan sürekli bilim ve fen yoluyla aydınlanma onun sloganı. Zaten aydınlanma cehalete karşı bir direnmedir. Matematiğin insanlığın, toplumların gelişmesindeki ve aydınlanmasındaki rolünü yazılarında çokça vurguladı [1] .
Matematikte sıfırın halleri denilince, sıfırın bölme, çarpma, toplama ve çıkarma işlemlerindeki etkisi anlaşılır. Şöyle ki, sıfırdan farklı bir reel sayının sıfıra bölünmesinin sonucunun Hintli matematikçi Bhaskara’ya göre sonsuz olduğu çözümüydü. Bugün bu çözümün yanlış olduğunu biliyoruz. Yani Bhaskara, a ∈ R ve a≠0 olmak üzere, a/0 ’ın sonucunun sonsuz olduğunu savunuyordu. Sıfır sayısının birçok önemli özellikleri yanında, yokluğu da ifade eder. Sonsuz adet yokluk bir araya getirilirse sonucu yine yokluktur [5,9]. Sıfırdan farklı iki reel sayı birbirine bölünürse, sonuç yine bir reel sayı (reel sayı tanımı gereği) olur. Bölme ve çarpma işlemleri birbirinin tersi olan sonuçlar üretirler. Bölme sonucunda, bölünen sayı içerisinde kaç tane bölen sayı kadar tam sayı ve ondalığının olduğunun bulunmasıdır. Oysa çarpma bütünü elde etme işlemidir. Parçadan bütüne kısa yoldan ulaşma işlemi çarpma ile gerçekleştirilir. a/0 bölme işleminin sonucu reel bir sayı olsaydı, sıfır ile çarpıldığında a sayısını vermesi gerekirdi. Olmayan şeylerin toplamı yine olmayandır. Hiç tane sayıyı toplamak sıfırdır (tanım gereği). Dolayısıyla hangi sayı sıfır ile çarpılırsa çarpılsın hiçbir zaman, a sayısını üretmeyecektir. Yani matematikte böyle bir bölme işlemi tanımlanmamıştır. Ama belki bir gün bu soruna bir çözüm getirilebilir. Kısaca, bugün sıfırdan farklı bir reel sayının sıfıra bölünmesinin somut bir sonucu elde edilemediğinden, cevabı tanımsız olarak verilir.
Sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümünün sıfır (0/a=0) olduğu, Bhaskara çözümü doğruydu. Şöyle ki, 0/a bölme işleminin sonucu sıfır olması durumunda doğrudur. Çünkü, olmayan bir şeyle olan bir şeyin sonucu, olmayan bir şey, yani sıfırdır. Sıfırlarla çarpmanın, toplamanın ve çıkarmanın sonuçları yine sıfırdır (tanım gereği).
Acaba, sıfırın sıfıra bölümünün ( (0 )/0 ) sonucu nedir? Olmayan bir şeyin olmayan bir şeye bölme işleminin sonucu üzerine uzun süre çalışılmıştır. Fakat belli bir çözüme ulaşılmamıştır.
Çünkü, olmayan bir şeyin olmayan bir şeye bölünmesi, istenilen her şeye karşılık getirilebilir. Yani bir keyfilik söz konusudur. Oysa matematikte temel yaklaşım, kesin doğru sonuç elde edilmesidir (yani bir kavramın tanımlanmasıdır). Yorumlara dayanmamalıdır. Yani, ( (0 )/0 ) işleminin sonucu, istenilen herhangi bir değere karşılık getirilmesi bir keyfiliği, diğer bir söyleyişle bir tanımsızlığı (belirsizliği) içerir. Bu yüzden ( (0 )/0 ) işleminin sonucu tanımlanmamıştır. Limit kavramının sezgisel tanımı, y=f(x) fonksiyonu için x bir a değerine, a civarında a’dan büyük değerlerle veya a’dan küçük değerlerle yaklaşırken, f(x) fonksiyon değeri de bir L değerine yaklaşıyorsa, f(x) fonksiyonunun x’in a noktasındaki limiti L dir denir. Bu tanım, y=lim┬(x→a^+ )〖f(x)=〗 lim┬(x→a^- )〖f(x)=lim┬(x→a)〖f(x)=L〗 〗, şeklinde yazılır.
Kısaca limit kavramı, fonksiyonların tanım kümesindeki bir x değerine karşılık, f(x) fonksiyon değeri için ( (0 )/0 ) tanımsızlık durumunda (veya diğer tanımsızlık durumlarında), çok sayda değeri oluşmaktadır. Bu durum fonksiyon tanımı ile çelişir. Limit, fonksiyonların tanımsızlık durumlarında oluşan, tanım kümesindeki bir elemana karşılık, birden çok değer kümesi elemanının oluşması tanımsızlık durumunu ortadan kaldırarak, fonksiyon tanımına uygunluğunu sağlar. Yani, fonksiyonlarda, tanım kümesindeki her bir x’e karşılık değer kümesinde bir ve yanlız bir tane f(x) değeri üretilmesi, limit kavramı ile çözülmüştür.
y=f(x)=(P(x))/(Q(x))=0/0 ya da ∞/∞ tanımsızlık durumlarında, f(x) fonksiyon değeri için tanımsızlık giderilerek hesaplanmaktadır. Bu hesaplamayı, Fransız matematikçi, Guillame De I’Hopital, küçülerek ( (0 )/0 )’a yaklaşan sayı dizisi kavramıyla tanımsızlığı ortadan kaldırarak, tanımlı hale dönüştürmekle başarmıştır. Matematik’te fonksiyonların limit hesaplarında karşılaşılan ( (0 )/0 ) tanımsızlığı, I’Hopital kuralı uygulanarak kolayca ortadan kaldırılarak, belli bir sayı elde edilebilir. Fakat, I’Hopital’in ( (0 )/0 ) tanımsızlığını giderme kuralını, İsveçli hocası Johann Bernoulli’de aldığı iddiası tartışmalı bir konu olmasına karşın, bugün limit’de ( (0 )/0 ) tanımsızlığının giderilmesinin çözüm yolu olan, I’Hopital kuralı matematikteki yerini almıştır. Yani pay ve paydadaki fonksiyonların art arda türevlerinin alınıp tanımsızlığın ortadan kaldırılması kuralı olarak anılır. Sıfırın, diğer tanımsızlık halleri (0.∞), 〖(0〗^0) ve 〖(∞〗^0) olup, bu tanımsızlıkların giderilmesinin çözümleri de bulunmuştur.
Bazen tanımsızlık yerine belirsizlik terimi kullanılmaktadır. Belirsizlik yerine tanımsızlık teriminin kullanılması daha doğrudur [9]. Örneğin, n elemanlı kümenin n elemanlı alt kümesinin sayısı kendisi olan, birdir. Oysa ki bunun hesabı, (■(n@n))=n!/n!(n-n)!=1/(n-n)!=1/0!=1 olup, burada karşılaşılan sorun, 0!=1(sıfır faktöriyel bir alınmıştır) tanımlanarak giderilimiştir. Aksi taktirde sorun aşılamamaktadır [9].
Matematikte bazı problemler, asırlar sonrası çözülebilmektedir. Matematik bilim tarihinde örnekleri çokça bulunmaktadır [6]. Beşinci dereceden bir polinom denklemin köklerinin bulunması için, denklemin katsayıları üzerine uygulanan, çarpma, bölme, toplama, çıkarma ve beşinci dereceden kök alma işlemleri ile çözülemeyeceğini, Norveçli matematikçi, Niels Henrik Abel (1802-1829) ve Fransız matematikçi, Evariste Galois (1811-1832) son verdiler [3,4]. Diğer bir örnek, Oklid’in Elemanları [2] adlı geometri kitabında geçen, 5. aksiyomun (belitin) diğer 4 aksiyoma dayanarak ispatlanması için, matematikçilerin 2000 yıllık çabaları sonucunda, Oklid-Dışı geometrilerin doğmasına sebep olması. Öklid-Dışı geometrilerin yaratıcılar ise, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Nikolay İvanoviç Lobaçevski (1792-1856), Friedrich Berhard Riemann (1826-1866) ve Janos Bolyai (1802-1860) dır.
Bir başka örnek olarak, n>2 olmak üzere x^n+y^n=z^n şeklindeki Fermat teoremidir [6,8]. Yani, n. kuvvetten bir tam sayı, n. kuvvetten iki tam sayının toplamı olarak yazılabilir mi problemi. Bu problemin çözümü 350 yıl sonra, İngiliz asıllı matematikçi Andrew Wiles tarafından yazılamayacağı ispatlanmıştır. Yukarıdaki tanımlanan problemlerin çözümleri, asırlar boyunca uğraşılıp, sonunda çözüme kavuşturulmuştur. Yukarıdaki problemlerin çözümleri, yeni kavramlar tanımlanarak çözülmüştür.
Sıfırın, toplama, çıkarma, ve çarpma işlemlerinde bir sorun çıkarmadığını biliyoruz. Sorunun bölme işleminde yaşandığını, yani sıfırdan farklı sayının sıfıra bölünmesi ve sıfırın sıfıra bölünmesinde yaşandığını, fakat bu sorunların yukarıda açıklanan bazı özel durumlarda çözüldüğünü biliyoruz. Sıfır yaman bir sayı. Günümüz uygarlığının baş mimarı. Sıfırın başka marifetleri de var. Örneğin, matematikte sayı sistemleri için referans olması yanında, diğer birçok fiziksel ve matematiksel yapı ve sistemlere de referanslık etmesidir. Suyun sıfır derecede sıvı halde katı hale dönüşmesi, çember, daire, koordinat sistemleri, dünyanın ağırlık merkezi vb. sistem ve yapılara da referanslık yapması. SARS-Cov-2 virüsü ve sebep olduğu Covid-19 akciğer solunum yolu hastalığı için, başlangıç yılı olan 2020 yılı, başlangıç veya sıfır yılı olarak alınabilir olması.
Sıfır aynı zamanda özel sabit bir fonksiyondur (y=f(x)=0). Sıfırın diğer halleri için, 0!=1, √0=0 , ±0=0 , a∈R ve a≠0 olmak üzere, a^0=1 örnekleri verilebilir. 0^0, cebirde 1 ve analizde ise tanımsız olarak alınır [9]. İşte sıfırın hallerinin bir başka örneği. e^iπ+1=0, Euler’in ispatladığı bu denklem matematiğin 5 önemli sayısının içerisinde sıfırın bulunması [7], denkleme tamlık, mimari estetiklik ve güzellik katmaktadır.
Sonuç olarak, sıfıra değersiz gözü ile bakılamayacağı anlaşılmaktadır. Sıfırın, matematiğe katılmasıyla, matematikte ve doğa bilimlerinde büyük ilerlemeler sağlanmıştır. Sıfır aynı zamanda, günümüz uygarlığının parlayan ve hiçbir zaman sönmeyecek güneşi ve bütün bilimlerin ise olmazsa olmazı, tarafsız bir temel sayısıdır.
Cehaletle Savaşılmaz, Kemalatla Yarışılır.
Her bilim dalı gemisinin halatını, matematik limanının baba direğine bağlamalıdır.
Sevgi, Saygı ve Hürmetlerimle, Doğan Hocam.
Kaynaklar
[1]. Kuban, D. (2021), CBT (1987), CBT (2006) ve HBT (2016), dergilerinde yayınlanmış bütün yazıları, İstanbul.
[2]. Sertöz, A. S. (2019), Öklid’in Elemanları, Türkçesi ve Notlar: Ali Sinan Sertöz, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara.
[3]. Sertöz, A. S. (1996), Matematiğin Aydınlık Dünyası, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara.
[4]. Nesin, A., Törün, A. (2013), Matematikçi Portreleri, Nesin Matematik Köyü, 3. Bakı, Şirince/Selçuk/İzmir.
[5]. Zellini, P. (2011), Sonsuzun Kısa Tarihi, Türkçesi: Fisun Demir, 2. Baskı, Dost yayınevi, Ankara
[6]. Ülger, A. (2021), Matematiğin Kısa Tarihi, Koç Üniversitesi, İstanbul.
[7]. King, P. J. (1997), Matematik Sanatı, Çeviri: Nermin Arık, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara.
[8]. Wells, D. (1997), Matematiğin Gizli Dünyası, Türkçesi: Dr. Selçuk Alsan, Sarmal Yayınevi, İstanbul.
[9]. Nesin, A. (2021), 0! (Sıfır Faktöriyel) Neden 1’e Eşittir, https://www.youtube.com/watch?v=i5gxEhNDYls.
